北京邮电大学2005——2006学年第二学期。
离散数学》期末考试试题a卷标准答案。
一、(10分)用集合的语言描述并求解下面的问题。
某班50人，学英语的有40人，学法语的有35人，学德语的有10人，其中有5人三种都学习，且每个人至少都学了一种语言，问仅学两种语言的有几人？
解：先用集合的语言描述该问题：
令：e=，a=，b=，c=，则：
a|=40，|b|=35，|c|=10，|abc|=5
所求为：ab|+|ac|+|bc|-3*|abc|
以上描述每2条1分，共5分)
由容斥原理，有。
abc |=a|+|b|+|c|-|ab|-|ac|-|bc|+|abc|，代入已知数值，得：
ab|+|ac|+|bc|=40+35+10+5-50=40
则所求|ab|+|ac|+|bc|-3*|abc|为：40-3*5=25
以上计算过程5分)
即仅学两种语言的有25人
可以用其它的集合表示方法来做，但对应点均应有，各得分点相同。
二、(16分)设r和s是集合x上的任意两个关系，判定以下命题的真假，证明真命题，为假命题举一个反例：
1. 若r、s是对称的，则rs也是对称的。
2. 若r、s是反自反的，则rs是反自反的。
解：1.该命题为假命题 (判断2分)
反例： (反例6分，不限此示例)
x=, r={}s=,r,s均对称，但rs={}非对称。
2.该命题为假命题 (判断2分)
反例： (反例6分，不限此示例)
x=, r=,s=,r,s均为反自反的，但rs=为自反的。
三、(16分)r为自然数集合上具有如下性质的二元关系：,都有，证明：
1)证明r为等价关系。
2)求的商集。
解。1)证明：要证明r为等价关系，即证r为自反(3分)、对称(3分)和传递(3分)的，(能表述出这一点，给1分)，以下分别证明：,显然有r，即r具有自反性。(3分)
∈,如果r，据定义有b=d，再依据定义，显然有r，即r具有对称性。(3分),∈如果r，据定义有b=d ，如果r，据定义有d=f ，则b=f ，由定义r，即r 具有传递性(3分)
综上，r为等价关系。(这部分共10分)
2)(这部分共6分，直接写出结果即可)的商集为：
r=其中[n]r =
四、(14分)是从集合x到y的函数，若ran，则称是入射。证明：是入射当且仅当对于的任意子集和有：
证明：充分性：即证明：当对于的任意子集和有：，是入射。(7分)
可以直接利用函数定义，是入射。
必要性：即证明：是入射，则对于的任意子集和有：。(7分)
从两个方向来证。一个方向：
y∈f(ab)，f是入射，则x∈ab, f(x)=y。x∈a且x∈b，则f(x)∈f(a) 且f(x)∈f(b)，即f(x)∈f(a)f(b)，由y的任意性，可得f(ab)f(a)f(b)
另一个方向：
y∈f(a)f(b)，则y∈f(a)且y∈f(b)，由于f是入射，则x∈a和x∈b，即x∈ab,使得f(x)=y，即f(x)∈f(ab)，由y的任意性，可知f(a)f(b)f(ab)
综合两个方向则有：
五、(14分)设 <，与 <，是代数系统，其中为实数集合，+、分别是数的加法和乘法运算，定义为：。试证明是从 <，到 <，的单一同态，但不是同构。
证：x,y∈r，有。
h(x+y)=10x+y=10 x *10 y=h(x)*h(y)
则是从 <，到 <，的同态。
以上8分)下面说明h(x)是函数、且单射但非满射，则可得证h不是同构。(各2分)
六、(16分)判断分别满足下列性质的无向图是否可能，若可能，画出一种，若不可能，说明理由：
a)5个结点，度均为3
b)6个结点，4条边。
c)简单图，4个结点，度分别为1,2,3,4
d)简单图，6个结点，度分别为1,2,3,4,5,5
解：(各4分)
a)不可能，3*5=15非偶数。
b)多种可能，画出一个即可。
c)不可能，4个节点的简单图，节点最高度为3，但这里有一个度为4。
d)不可能：6个节点，有两个5度，则有两个节点都与其它所有节点都有边，因此每个节点的度最低为2，但这里有一个度为1。
七、(14分)证明：若图g是不连通的，则g的补图必是连通的。
证明：(还有其它的证明方法，能正确证明就可，方法不限下面的这种。对于能提到关键要点但没有完全证明出结论的可以酌情给分。)
设g=,若图g是不连通的，则不失一般性，其必存在两个连通分支g1=,g2=，v1中的节点不与v2中的任何一个节点有直接边。
依据补图的定义：则在g的补图中，v1中的每个节点必存在与v2中的每个节点之间的直接边。下面证明这样的图显然是连通的：
v1,v2∈v,其位置只有两种可能，或都位于一个连通分支中，或位于不同的连通分支中。第一种情况，设v1,v2∈v1，再设v∈v2，按上面的结论，可知v1和v2均存在与v相连的边，则v1和v2通过v可以连通。第二种情况，设v1∈v1，v2∈v2，则按上面的结论，可知v1和v2存在边相连，是连通的，因此，g的补图是连通的。
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