定义一个有向网络g=(n,e)，其中n是节点集，e是弧集。令a是网络g的点弧关联矩阵，即n×e阶矩阵，且第l列与弧里(i,j)对应，仅第i行元素为1，第j行元素为-1，其余元素为0。再令bm=(bm1,…,bmn)t，fm=(fm1,…,fme)t，则可将等式约束表示成：
afm=bm
本算例为一经典te算例。算例网络有7个节点和13条弧，每条弧的容量是5个单位。此外有四个需求量均为4个单位的源一目的对，具体的源节点、目的节点信息如图所示。
这里为了简单，省区了未用到的弧。此外，弧上的数字表示弧的编号。此时，c=((5,5…,5)1×13)t，根据上述四个约束条件，分别求得四个情况下的最优决策变量x=((x12,x13,…,x75)1×13)。
图 1 网络拓扑和流量需求。
转化为线性规划问题：
minimize ctx1
subject to ax1=b1
x1>=0
利用matlab编写对偶单纯形法程序，可求得：
最优解为x1*=[4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]t
对应的最优值ctx1=20
minimize ctx2
subject to ax2=b2
x2>=0
利用matlab编写对偶单纯形法程序，可求得：
最优解为x2*=[0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]t
对应的最优值ctx2=20
minimize ctx3
subject to ax3=b3
x3>=0
利用matlab编写对偶单纯形法程序，可求得：
最优解为x3*=[4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0]t
对应的最优值ctx3=40
minimize ctx4
subject to ax4=b4
x4>=0
利用matlab编写对偶单纯形法程序，可求得：
最优解为x4*=[4 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0]t
对应的最优值ctx4=60
算例1中，由b1可知，节点2为需求节点，节点1为供给节点，由节点1将信息传输至节点2的最短路径为弧1。
图 2 算例1最优传输示意图。
求得的最优解为x1*=[4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]t，即只经过弧1运输4个单位流量，其余弧无流量。又因为，每条弧的费用均为5，所以最小费用为20。
经分析，计算结果合理可信。
算例2中，由b2可知，节点3为需求节点，节点1为供给节点，由节点1将信息传输至节点2的最短路径为弧2。
图 3 算例2最优传输示意图。
求得的最优解为x2*=[0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]t，即只经过弧2运输4个单位流量，其余弧无流量。又因为，每条弧的费用均为5，所以最小费用为20。
经分析，计算结果合理可信。
算例3中，由b3可知，节点2为需求节点，节点3为供给节点，由节点3将信息传输至节点2的最短路径为弧5->弧1。
图 4 算例3最优传输示意图。
求得的最优解为x3*=[4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0]t，即经过弧5运输4个单位流量至节点1，再经弧1运输4个单位流量至节点2，其余弧无流量。又因为，每条弧的费用均为5，所以最小费用为40。
经分析，计算结果合理可信。
算例4中，由b4可知，节点7为需求节点，节点1为供给节点，由节点1将信息传输至节点7的最短路径为弧1->弧4->弧10。
图 5 算例3最优传输示意图。
求得的最优解为x4*=[4 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0]t，即经过弧1运输4个单位流量至节点2，再经弧4运输4个单位流量至节点5，最后经弧5运输4个单位流量至节点7，其余弧无流量。又因为，每条弧的费用均为5，所以最小费用为60。
经分析，计算结果合理可信。
a） 初值为（0,0）时。
本算法令g的2范数在<10-4时，停止迭代，经过86次迭代收敛。
收敛因子（f(k+1)-f*）/f(k)-f*）=0.7623
图 6 收敛因子截图。
b） 初值为（-0.4,0）时。
本算法令g的2范数在<10-4时，停止迭代，经过112次迭代收敛。
收敛因子（f(k+1)-f*）/f(k)-f*）=0.81
图 7 收敛因子截图。
c） 初值为（10,0）时。
本算法令g的2范数在<10-4时，停止迭代，经过5次迭代收敛。
收敛因子（f(k+1)-f*）/f(k)-f*）=3.9022e-4
图 8 收敛因子截图。
d） 初值为（11,0）时。
本算法令g的2范数在<10-4时，停止迭代，经过2次迭代收敛。
收敛因子（f(k+1)-f*）/f(k)-f*）=0
图 9 收敛因子截图。
图 10 自变量（x1,x2）截图。
总结：最速降线法的收敛因子随着初值的不同而变化，对于个别初值（如本习题初值取（11,0）时），算法可迅速收敛。因此，初值的选取对于最速降线法的收敛速度有较大影响。
a） 由可得：
", altimg': w': 130', h': 43'}]
}',altimg': w': 134', h': 48'}]
故，牛顿迭代法的确切公式为：
}}}altimg': w': 112', h': 94'}]
b）从以下五个初值开始迭代。
1）x(0)=7.40
表 1 初值1牛顿法迭代结果表。
2）x(0)=7.20
表 2 初值2牛顿法迭代结果表。
3）x(0)=7.01
表 3 初值3牛顿法迭代结果表。
4）x(0)=7.80
表 4 初值4牛顿法迭代结果表。
5）x(0)=7.88
表 5 初值5牛顿法迭代结果表。
c）本问题的最优值为7.4444444。由上述五个初值点的前五步迭代可以看出：
当初值点在区间（7.4444444，7.8888）内时，第二次迭代点将落在（7，7.4444444）之间，随后逐渐增加，直至逼近最优值。
当初值点在区间（7，7.4444444）内时，则迭代点逐渐增加，逼近最优值。
当取初值不在（7,7.8888）内时，牛顿法不收敛。
a） 没有线搜索的牛顿法。
=0.1时，=1时，b） 具有线搜索的牛顿法。
=0.1时，=1时，未完成）
a）初值选（1.2,1.2）时， 最速降线法：
本算法令g的2范数在<10-2时，停止迭代，经过3262次迭代得到以下结果。
图 11 最速降线法初值为（1.2,1.2）的等值线图及迭代轨迹。
牛顿法：本算法令s的4范数在<10-6时，停止迭代，经过4次迭代得到以下结果。
图 12 牛顿法初值为（1.2,1.2）的等值线图及迭代轨迹。
b）初值选（-1.2,1）时， 最速降线法：
本算法令g的4范数在<10-2时，停止迭代，经过6835次迭代得到以下结果。
图 13 最速降线法初值为（-1.2,1）的等值线图及迭代轨迹。
牛顿法：本算法令s的4范数在<10-6时，停止迭代，经过6次迭代得到以下结果。
图 14 牛顿法初值为（-1.2,1）的等值线图及迭代轨迹。
迭代6次后，满足收敛条件。
表 6 n=5时，各迭代点x值。
迭代19次后，满足收敛条件。
北航最优化方法大作业参考
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确定性存贮模型。在讨论确定性模型前，首先对一些常用符号的含义作必要的说明。c 单位时间平均运营费用 或称单位时间平均总费用 r 单位时间物品需求量 或称需求速度 p 单位时间物品生产量 或称生产速度 k 物品单价 外部订购 或单位物品成本费用 内部生产 q 订货量 外部订购 或生产量 内部生产 c1...