小波变换知识总结

变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。**性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。

傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来。变换的本质就是在搞基。

向量空间中的每一个向量都是向量基的线性组合，即把一些常数与向量基相乘，然后计算点积。对信号的分析就包括计算这些常数（变换系数、傅里叶系数、小波系数）。合成或者说重构就是计算线性组合方程。

n维空间的向量基中有n个向量。

平稳信号中的频率分量一直保持不变。区别于非平稳信号。

傅里叶变换（ft）：

傅里叶变换后的频谱图上出现毛毛刺，是因为信号中的频率突变引起的。

傅里叶变换仅仅给出了信号的频率分量，却没有给出这些频率分量出现的时间（傅里叶变换无任何时间分辨率）。因此对于非平稳信号，傅里叶变换是不合适的。当且仅当我们仅仅关心非平稳信号中的频率分量而不关心其出现的时间，傅里叶变换才可用于处理非平稳信号。

根据不确定性原理（测不准原理）：（1）在任意一个时间点，我们不能确定哪个频率分量存在；我们能做到的是在一个给定的时间段内确定哪个频率分量存在；（2）在时频分析中，要想取得高的时间分辨率就必须牺牲频率分辨率，反之亦然。

高频信号在时间域内更易处理，而低频信号在频率域内更易处理。

傅里叶变换：公式中的指数项还可写成：所以我们实际要做的就是用一些复数表达式叠加出原始信号，这些复数表达式包含了频率的正弦和余弦部分。

然后对乘积积分。如果积分结果值很大，说明信号在该频率处有一个大的频谱分量。

傅里叶变换是二维的，如果再加上幅度就是三维的。

图中以“尺度”为标签的轴代表频率，尺度越大频率。

越低，因此，图中的小尖峰反映了信号中的高频分量；大尖峰则反映了信号中的低频分量。高频信号的尺度分辨率很高，高尺度分辨率对应低频率分辨率。

这是一个无限循环的函数。1，cosx, sinx,cos2x ….就是傅立叶级数。

傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是这些function basis（函数基）是正交的。即两个函数的内积为0：

信号f(x)是已知的，傅立叶级数是已知的，我们怎么求a1呢？很简单，把方程两端的所有部分都与cosx的内积，即：

然后我们发现，因为正交的性质，右边所有非a1项全部消失了，因为他们和cosx的内积都是0！