——整合知识成系统，归纳方法悟道理。
开滦一中张智民。
转眼之间，斗转星移，感觉还没从高三紧张的备考气氛中走出来，学生又出现了新的替换。回顾过去的一年或者说三年，有辛苦，更有欣喜；有困惑，亦有收获。庆来老师前几天给我**，认为我带的2014届瑞丰珍珠班还是有一些成绩的，让我做个回顾总结，作为市教研会的一个学习材料。
说实在的，远离市教研室的各项活动大概也有十年之久了，今日提笔颇有些诚惶诚恐。要说成绩，我也认为还是有一些的，但是并不耀眼，只是让每个学生尽展所能、各如其愿罢了。我们两个班的数学平均成绩大概是120多点，我所带的二班51人参考，100%上了二本线，39人上了一本线，26人总分突破了600分大关，么依璇同学以684的高分被浙江大学录取。
但这些，真的不算什么，看看唐一的英才班，班平均660多啊！这也恰是我们这三年的痛苦所在！我们这两个珍珠班的学生是开一最好的生源——这是和开一普班学生比的结果；但是，这100多人里面当年的中考成绩没有一个够唐一的录取线的——我说的是唐一的普班。
这一点，庆来老师比我更清楚。可是，三年来，我们一直在奋力追赶唐一的英才班。人生的痛苦，就在于追求一些错误的东西，正如孟征老师所言：
你们有的学生连记忆关都没过，怎么和我们比！？所以说，我们最后的高考成绩还算是令人满意的！似乎有些跑题了，下面言归正传。
要说什么经验之类的，真的谈不上，无非是一些老生常谈和自己的一孔之见。要说备考，严格讲不是高三一年的备考，而应该是高中三年的备考。我把今天要讲的东西概括成一句话：
整合知识成系统，归纳方法悟道理。
每年一度的高考备考早已拉开了序幕，如何提高高考数学复习的效率是一个永恒的主题。许多学校、许多老师都有非常成功经验，也取得了卓著的成效。下面就我个人的所见所闻，所思所想谈一谈我的一孔之见，不妥之处，敬请批评指正。
下面我分四个方面说：一、现状分析；二、《平面向量》第一课时设计意图；三、提高复习效率的几点建议，四，对三轮复习的几点建议。
一、现状分析。
高中三年的新课绝大多数学校两年全部学完，留下足足一年的时间进行复习。三百多个日日夜夜，三百多节课。我们的老师、学生拼了老命地干，到最后还是忧多喜少。
我常见到许多这样的学生，一走出考场就会发出感叹“唉！都是老师讲过的，我怎么就是没想起来？真可惜！
”是啊！老师明明讲得很清楚的问题，学生也练到了位，为什么考起来，还是不会呢？我认为主要是三个方面没处理得好，一是知识零散，没形成系统，到要用的时候从大脑知识库中提取不流畅。
二是上课讲的数学方法只是停留在一个一个的解题方法上，没有悟出其中的道理，故遇到新的问题情境思维就断电，思路不通畅。三是对老师的依赖性过强，离开老师就不知从何处入手。怎么办呢？
可以从两方面入手。即：整合知识成系统，归纳方法悟道理。
换句话说既要使学生的知识形成系统，又要使学生见到新情境能悟出问题的本质，从而很快找准解决问题的方向。
二、《平面向量》第一课时设计意图。
平面向量》这一章高考主要是在两个方面出题：一是考查向量的基本概念、基本运算的基础题。一般难度不大，多以选择题，填空题的形式出现。
只要掌握了基础的知识，基本方法就行。当然也不排除向量本身的小综合考能力。近年来，这种小综合的问题多出在平面向量基本定理的灵活运用上。
二是以向量作为工具，考查其他的知识与方法。一般是个大题，经过这几年的打拼，向量的触角已经延伸到数学的各个知识领域了。作为第一课时，我设计成六个步骤：
第一步：以一道最新高考题为背景引入本课题，高考复习要关注高考题材。
第二步，让学生自己来架设知识的网络结构。从而整理本章节知识，并形成知识系统。
第三步，学生先做一组基础练习，目的是自我复习，回顾向量的基础知识。并进一步检测学生知识储备状态。
第四步，经历与近几年高考真题亲密接触，一方面体验高考命题的方式、方法，深度与广度。另一方面，通过变式掌握通性、通法，并深刻领悟其中的道理。纵观近几年高考中有关的平面向量题，向量的基本运算及平面向量的基本定理是考查的重点和难点。
也是每年高考出新题的土壤。其实解决这种问题的基本方法就是在复杂问题中先找准目标，然后寻找与目标有关的向量的闭合回路，一个闭合回路列一个向量等式，从而使问题得以解决。本节课的一个重点和难点就是引导学生去领悟如何找准目标，如何找闭合回路并列出向量等式。
第五步，初步体验向量作为工具与其它知识的整合、交汇的方式方法。
第六层，精心设计课后针对性练习。这一点，深受滦县一中现任校长刘玉东的影响。
通过六个层次环环紧扣，使知识的掌握，能力的提高都有望实现。
三、提高复习效率的几点建议。
一）、整合基础知识成系统是提高效率的前提。
高考复习千头万絮，讲什么，讲多少，怎么讲，当然看高考考什么，考多少，怎么考。纵观近几年各高考试卷，分析发现高考的试题**主要是从以下几个方面产生：
课本是试题的基本**，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生都是在课本的基础上组合、加工和发展的结果。所以，我们的做法是：回归课本，狠抓基础，开拓创新。
比如，（2013大纲8）椭圆c：的左右顶点分别为，点p在c上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
a、 b、 c、 d、
在考试中如何避免小题大做，快速入题，快速求解呢？
其实，我从课本中提炼出椭圆的的“第三定义”：动点到两定点a、b的连线的斜率之积为一个非零常数m，则动点轨迹（1）若m且则动点轨迹为椭圆（去掉ab两点）；
2）若，动点轨迹为圆（去掉ab两点）；
3）若m>0，动点轨迹为双曲线（去掉ab两点）；
而这个结论是课本习题结论的一般化：结论引申：（人教选修2-1复习参考体10）已知abc两个顶点a、b，边ac、bc所在直线的斜率之积等于m，求顶点c的轨迹方程。
略解：（1）若m且则动点轨迹为椭圆（去掉ab两点）；
2）若，动点轨迹为圆（去掉ab两点）；
3）若m>0，动点轨迹为双曲线（去掉ab两点）；
而上述习题是课本例题的引申：例1（人教选修2-1例3）已知abc两个顶点a、b，边ac、bc所在直线的斜率之积等于，求顶点c的轨迹方程。
而这个条件中的m在椭圆中其实，而在双曲线中。有了这些知识做铺垫，上述选择题则可快速的解选b，几乎没有运算量。再比如：
已知椭圆的左、右顶点分别为和，垂直于椭圆长轴的动直线与椭。
圆的两个交点分别为和，其中的纵坐标为正数，则直线与的交点。
的轨迹方程（ ）
a、 b、 c、 d、
该题亦可快速求解显然为c。
下面我们再看这个知识点在历年高考**现的频率：真题再现：
1、(2023年高考四川卷文科21) (本小题满分12分) 如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为4，设动点的轨迹为。[**：学科网]
ⅰ）求轨迹的方程；
ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。
2、（2023年高考北京理科（19））（本小题共14分）
在平面直角坐标系xoy中，点b与点a（-1,1）关于原点o对称，p是动点，且直线ap与bp的斜率之积等于。
ⅰ)求动点p的轨迹方程；
ⅱ)设直线ap和bp分别与直线x=3交于点m,n，问：是否存在点p使得△pab与△pmn的面积相等？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由。
进一步**：逆命题也成立：
若a、b为椭圆的左右（或上下）顶点，p为椭圆上异于a、b的任一点，则。（双曲线结论类似）。
更上层楼：若a、b为椭圆的两点，且a、b关于原点o对称，点p为椭圆上异于a、b的任一点，则。（双曲线结论类似）。
真题再现：（2011江苏）在此不再赘述。
故复习中使基础知识成系统是提高效率的前提。也就是说教师在讲知识同时更要讲联系（横向、纵向、内部、外部）。即一轮复习中要做到：
“横向到边，纵向到底”的复习。高三第一轮复习要建立网络化的知识结构，把局部知识组织整合成整体。这种综合至少包括四个方面：
一是各章节内部知识以图、表等形式，构建知识网络．理清知识脉络，形成良好的知识结构与经验体系．知识一旦形成网络，相互支撑，利于理解、记忆与掌握，便于迁移与运用．如“函数单调性”，要明确：
1）“函数单调性”是函数在定义区间上的性质，是函数的局部性质．
2）“函数单调性”特别强调“区间”这一形式．
3）如何判断函数单调性？求函数单调区间有哪些方法？定义法、复合函数法、导数法等。
4）如何证明一个函数是增函数或者减函数？定义法、导数法。
5）单调性有哪些应用？如比较两个数的大小；求函数的最大、最小值；证明不等式，等等．以简单的例子为载体，加深理解；比如函数f（x）＝是理解单调性的好例子．
二是按主题的整合。将不同单元、不同学科、不同年级所学的数学知识提炼加工，建立知识之间的纵横联系，使知识系统化、条理化、网络化；便于记忆、储存、提取和应用。
三是以问题为中心的跨学科分支联通。比如函数的最值，涉及到代数、平面三角与几何的有关知识，产生最值的背景又可能与代数、三角、平面几何、立体几何及解析几何相联系；
四是各知识块之间的交汇与融合。比如以向量为工具研究函数、数列、不等式立体几何等等。
当然，第一轮复习应以第一点为主，后几点主要在第二轮。也可以在第一轮复习的后时段，同时进行小范围的整合、联通、交汇与融合。
历届高考题成为新高考题的借鉴，特别是全国题，它的发展变化在各省市命题中起引领作用。
课本与课程标准的交集成为高考题的创生地带，不能忽视课程改革背景下的新理念，新内容，对命题者的影响。
高等数学的基本思想，基本问题为高考题的命制提供背景，这既是高考考查潜能的需要，也是命题者学术背景使然。
竞赛题的背景改编等——我就特别关注2023年10月份的河北省数学竞赛。
也就是说命题者是站在一个比较高的位置俯视高中知识。也许他的一个灵感就是一个好题。我们也常会去猜测命题者的意图，比如07年江西高考理科16题，那个动圆的填空题。
我跟学生讲，可能是命题者苦思冥想，然后，走到一个水坛边，很随意地丢一个石头过去，看到不断泛起的水波，一个一个扩大的圆，从而产生了灵感。于是创设了一个动圆问题。又比如某年的钟表概率题，也许是命题者久久不得入题，无意间拔弄自己的手表而产生灵机一动，用钟表作为背景来考查学生的概率问题。
当然这是我瞎猜的，我只是想说明一个问题，现在高考题的触角已伸展到学生的生活中，只有打下扎实的基础，才能以不变应万变。想靠猜题押题或大量练习是无法成功的，最多会很偶然地碰上一个，也与事无补。
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