小学数学奥数基础教程(六年级) -第23讲。
本教程共30讲。
**法 有许多应用题，其中的数量关系比较复杂，而通过画图可以把数量之间的关系变得直观明了，从而达到解题目的。这种通过画图帮助解题的方法就是**法。
我们通过下面几道例题来讲解在各种类型的应用题中如何使用**法解题。
例1 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1 盘。问：小强已经赛了几盘？分别与谁赛过？
分析与解：这道题按照常规思路似乎不太好解决，我们画个图试试。用五个点分别表示参加比赛的五个人，如果某两人已经赛过，就用线段把代表这两个人的点连结起来。
因为甲已经赛了4盘，除了甲以外还有4个点，所以甲与其他4个点都有线段相连（见左下图）。
因为丁只赛了1盘，所以丁只与甲有线段相连。
因为乙赛了3盘，除了丁以外，乙与其他三个点都有线段相连（见右上图）。
因为丙赛了2盘，右上图中丙已有两条线段相连，所以丙只与甲、乙赛过。
由上页右图清楚地看出，小强赛过2盘，分别与甲、乙比赛。
例2 一群人在两片草地上割草，大的一片草地比小的正好大1倍。他们先全体在大的一片草地干了半天，下午留下一半人在大草地上继续干，收工时正好把草割完；另一半人到小草地上干，收工时还余下一块，这块再用1人经1天也可割完。问：
这群干活的人共有多少位？
分析与解：本题有多种解法，其中利用**法十分简洁。
设一半人干半天的工作量为1份。因为在大草地上全体人干了半天，下午一半人又干了半天，正好割完，所以大草地的工作量是3份。由题意，小草地。
因为下午有一半人在小草地上干了半天，即干了1份，所以小草地没干完的是。
例3 a，b两地间有条公路，甲从a地出发步行到b地，乙骑摩托车从b地同时出发，不停顿地往返于a，b两地之间。80分钟后他们第一次相遇，又过了20分钟乙第一次超越甲。求甲、乙速度之比。
分析与解：在行程问题中，通常先画出运行图，这样直观清晰，可以帮助我们分析各个量之间的关系。依照题意画运行图如下：
第一次相遇时甲、乙各行了80分钟，到第一次超越时，甲共行100分钟，而乙在第一次相遇到第一次超越的这20分钟内行的路程，相当于甲行80＋100=180（分）的路。所以甲、乙的速度之比为。
例4 两名运动员在长为50米的游泳池里来回游泳。甲运动员的速度是1米/秒，乙运动员的速度是0.5米/秒，他们同时分别在游泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转向时间，那么在这段时间里共相遇了几次？
分析与解：甲游完一个全程要50÷1=50（秒），乙游完一个全程要50÷0.5=100（秒），画出这两人的运行图。
图中实线段和虚线段的每个交点表示两运动员相遇了一次，从图上可以看出，甲、乙两运动员在5分钟内共相遇了5次，其中，有2次在游泳池的两端相遇。
例4中，如果按照相遇、追及……的过程分别计算，是十分麻烦的。通过画出运行图，结果一目了然。
例5 容器中有某种酒精含量的酒精溶液，加入一杯水后酒精含量降为25％；再加入一杯纯酒精后酒精含量升为40％。那么原来容器中酒精溶液的酒精含量是多少？
分析与解：把加完水和酒精后的酒精溶液分成5份，因为酒精含量是40％，所以其中有2份纯酒精，3份水（见左下图，△表示纯酒精，○表示水）。加入纯酒精前酒精含量为25％，即纯酒精与水之比是1∶3，因此应该是1个△和3个○（见下中图），推知加入的一杯纯酒精相当于1个△，则一杯水是1个○，原来容器中有1个△和2个○（见右下图），酒精含量为33.
3％。例6 有三堆围棋子，每堆棋子数相等。第一堆中的黑子与第二堆中的白子。
部棋子的几分之几？
分析与解：因为三堆围棋子数量相同，我们可以用三条长度相等的线段分别表示三堆棋子，每条线段又分成两段分别表示黑子和白子（见下页图）。
从图中看出，黑1与黑2正好等于一条线段的长，即等于全。
练习23两地相距1000米，甲、乙二人分别从a，b两地同时出发，在a，b两地间往返散步。如果两人第一次相遇时距a，b两地的中点100米，那么，两人第二次相遇地点距第一次相遇地点多远？
2.小马虎上学忘了带书包，爸爸发现后立即骑车去追，把书包交给他后立即返回家。小马虎接到书包后又走了10分钟到达学校，这时爸爸也正好到家。
如果爸爸的速度是小马虎速度的4倍，那么小马虎从家到学校共用多少时间？
3.某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？
”司机回答：“10分钟前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了10分钟，遇到了这个骑自行车的人。
如果自行车的速度是人步行速度的3倍，那么，汽车速度是人步行速度的多少倍？
4.公共汽车从甲站开往乙站，每5分钟发车一趟，全程要15分钟。有一人从乙站骑自行车去甲站，出发时恰有一辆车到达乙站，在路上他又遇到10辆迎面开来的汽车才到甲站，到站时恰有一辆汽车从甲站开出。
问：他从乙站到甲站共用了多少分钟？
5.甲、乙两地相距15千米，每天8点开始从乙地每隔15分钟开出一辆公共汽车到甲地去，车速是30千米/时。某人8点20分骑车从甲地到乙地去，速度是15千米/时。
他在路上可以看到几辆从乙地开出的公共汽车？
6.某区举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人；及格的人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍。求参赛的总人数。
7.1，2，3，4，5，6号六名运动员进行乒乓球单打循环赛。到现在为止，1，2，3，4，5号运动员已参加比赛的场数正好等于他们的编号数。问：6号运动员已经赛了几场？
答案与提示练习23
1.400米。
解：由下图看出，第一次相遇时两人共走一个单程，第二次相遇时两人共走三个单程。由第一次相遇时两人走的路程相差200米，推知第二次相遇时相差600米，所以两次相遇地点相距（200＋600）÷2=400（米）。
2.50分。
解：由下图看出，爸爸把书包交给小马虎后，小马虎到学校用10分，爸爸返回家用10分，这段路小马虎走了40分。所以小马虎从家到学校共用10＋40=50（分）。
3.7倍。解：
由下图看出，汽车追上骑车人后10分遇到步行人，此时骑车人到达b地；又过10分，步行人与骑车人在b点相遇。所以，汽车10分的路等于步行10分加骑车20分的路，也等于步行10＋20×3＝70（分）的路。所以汽车速度是步行速度的70÷10=7（倍）。
4.40分。
解：根据出发时恰有一辆车到达乙站和到达甲站时恰好遇到第11辆车出发，画出汽车和骑车人的运行图。
从图中可以看出骑车人从第15分出发，第55分到达，中间经过了55-15=40（分）。
5.6辆。提示：
6.392人。
解：由“不低于80分的比80分以下的4倍还多2人”可画出左下图，由“及格的比不低于80分的多22人”可画出右下图。
因为及格人数是不及格人数的6倍，由右上图知，22＋22×4＋2=112（人）
是不及格人数的2倍，所以参赛总人数为。
（112÷2）×（1＋6）＝392（人）。
7.3场。提示：与例1类似（见右图）。
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