六年级数学

第一单元：负数。

负数的引入。

今天人们都能用正负数来表示两种相反意义的量。例如若以冰点的温度表示0℃，则开水的温度为+100℃，而零下10℃则记为-10℃。若以海平面为0点，则珠穆朗玛峰的高度约为+8848米，最深的马里亚纳海沟深约-11034米。

在日常生活中，人们常用“+”表示收入，用“-”表示支出。可是在历史上，负数的引入却经历了漫长而曲折的道路。

古人在实践活动中遇到了一些问题：如两人相互借用东西，对借出方和借入方来说，同一东西具有不同的意义；再如从同一地点，两人同时向相反方向行走，离开出发点的距离即使相同，但其表示的意义却不同。久而久之，古人意识到仅用数量表示一个事物是不全面的，似乎还应加上表示方向的符号。

因此为了表示具有相反意义的量和解决被减数小于减数等问题，逐渐产生了负数。我国是世界上最早使用负数概念的国家。《九章算术》中已经开始使用负数，而且明确指出若“卖”是正，则“买”是负；“余钱”是正，则“不足钱”是负。

刘徽注《九章算术》，定义正负数为“两算得失相反”，同时还规定了有理数的加、减法则，认为“正、负术曰：同名相益，异名相除。”这“同名”、“异名”即现在的“同号”、“异号”、“除”和“益”则是“减”和“加”，这些思想，西方要迟于中国**百年才出现。

印度在公元7世纪才采用负数，公元628年，印度的《婆罗摩修正体系》一书中，把负数解释为负债和损失。在西方，直到2024年，法国的舒开才给出了二次方程的一个负根。2024年，德国的史提菲把负数定义为比任何数都小的数。

2024年，意大利的卡当著《**》，成为欧洲第一部论述负数的著作。虽然负数早已出现在人们的计算过程中，但却迟迟得不到学术界的承认，直到17世纪，数学、力学、天文学获得广泛发展，使用负数可以大大简化计算，所以负数才正式进入了数学。特别是2024年，法国数学家笛卡尔发明了解析几何学，建立了坐标点，将平面点与负数、零、正数组成的实数对应起来，使负数得到了解释，从而加速了人们对负数的承认。

但直到19世纪，德国数学家魏尔斯特拉斯等人为整数奠定了逻辑基础以后，负数才在现代数学中获得巩固的地位。

第二单元：圆柱与圆锥。

1、圆锥、圆柱的故事。

在几何王国有两个立体图形，一个是圆锥体，一个是圆柱体，他们是堂兄弟，可要好了，经常在一起玩。在学习上，他们也是互相帮助，你追我赶，谁也不服输。他们比赛的项目可多了，其中一项就是"体积"

圆柱心里想，"我圆柱长得又粗又壮，你圆锥是怎么也比不过我的，我的体积v=sh=πr2h，而你圆锥的体积v=1/3sh=1/3πr2h，就算我的半径和你的半径一样大，我的高和你的高一样长，你的体积还要乘以1/3呢！哈哈，我的体积是大定了。"圆锥看到圆柱得意的样子，心里暗暗地为自己加油，他心里想：

"我的体形比圆柱瘦小，头是尖尖的，体积计算起来有点吃亏，但是不要紧，在底面积和他一样大的情况下，只要我的高能够是圆柱的3倍，那么就能抵消这1/3，我的体积就和他一样了。"

他正要开口反驳圆柱，又一想，"我还是要考虑全面一些，如果我的高和他一样呢？对了，那只要我的底面积是他的3倍就行了，体积照样能和他一样！"圆。

锥的心里有了把握，从此他努力锻炼身体，长得越来越高，终于达到了圆柱的3倍，也实现了体积与圆柱相等的梦想。

2、谁是兄谁是弟。

圆柱：(跑到台上，挥手)喂！圆锥老弟，等等我。圆锥：(站住，回头)你喊我，“老弟”?圆柱：是啊！

圆锥：(手指向自己)你有什么资格称我“老弟”?圆柱：(手指向圆锥)我比你大。圆锥：比我大？大多少？

圆柱：我是你的3倍，这不是明摆着大2倍呗。

圆锥：不见得。我问问你，你的半径是1厘米，高是10厘米，你的体积是多少？

圆柱：(抓抓头，皱皱眉，眨眨眼)31．4立方厘米。圆锥：

好！我再问问你，我的半径是2厘米，高30厘米，我的体积是多少？圆柱：

(抓抓头，皱皱眉)125．6立方厘米。圆锥：好！

那么我们谁是兄？谁是弟呀？

圆柱：(恍然大悟)噢，圆锥“老弟”，请别生气，我是说我和你在等底等高的条件下，我是你的3倍，比你大2倍，所以才称你“老弟”的呀。圆锥：

那我们在另一条件下，你就比不过我了。圆柱：(吃惊)什么条件？

圆锥：那就是我们的底面积和体积分别相等的时候，我的“个子”比你高。圆柱：噢！你是说我们底面积和体积分别相等的时候你比我高。

圆锥：对！比如说我们的底面积都是3．14平方厘米，体积都是12．56立方厘米的时候，请你说说你和我各有多高？

圆柱：(抬头思考片刻)我是4厘米，你是——

圆锥：我是12厘米，怎么样，我说在底面积和体积分别相等的时候比你高吧。我的高是你的3倍，比你高出2倍。

圆柱：(难为情地低下头)下次我可不再喊你“老弟”了。

第三单元：比例。

比例的故事：比家兄弟演武术。这天，数学城的体育场上正在进进行武术表演。

先上台的是“比”家两对兄弟。4：3和12：

9，他们两人一对，一前一后，在台上都了好长一段时间，不分上下。最后，大家看到的是等号陪着两个比：4：

3=12：9。

此时，话筒传来了解说员的声音。“刚才表演的是比变比例。”他告诉观众，“台上的两个比是相等的，他们前项除以后项都得一又三分之一，两个相等的比，便可以组成比例。

一个比只有前后两个项，而比例却有两个比、四个项，有两个内项和两个外项。”

观众正聚精会神的端详着，等号拉着两个比，不停的迈开舞步。忽见他们身体一晃，霎时变成了：4×9=3×12.

大家仔细观察发现是两个外项是两个内项，他们的积都是36。众人恍然大悟：原来比例的两个外项的积与两个内项的积相等啊！

看了这个故事，大家是否了解一些关于比例的知识呢？

第四单元：统计。

智斗猪八戒。

话说唐僧师徒西天取经归来，来到郭家村，受到村民的热烈欢迎，大家都把他们当作除魔降妖的大英雄，不仅与他们合影留念，还拉他们到家里作客。

面对村民的盛情款待，师徒们觉得过意不去，一有机会就帮助他们收割庄稼，耕田耙地。开始几天猪八戒还挺卖力气，可过不了几天，好吃懒做的坏毛病又犯了。他觉得这样干活太辛苦了，师傅多舒服，只管坐着讲经念佛就什么都有了。

其实师傅也没什么了不起的，要不是猴哥凭着他的火眼金睛和一身的本领，师傅恐怕连西天都去不了，更别说取经了。要是我也有这么一个徒弟，也能有一番作为，到那时，哈哈，我就可以享清福了。于是八戒就开始张落起这件事来，没几天就召收了9个徒弟，他给他们取名：

小一戒、小二戒…小九戒。按理说，现在八戒应该潜心修炼，专心教导徒弟了。可是他仍然恶习不改，经常带着徒弟出去蹭吃蹭喝，吃得老百姓叫苦不迭。

老百姓想着他们曾经为大家做的好事，谁也不好意思到悟空那里告状。就这样，八戒们更是有恃无恐，大开吃戒，一顿要吃掉。

五、六百个馒头，老百姓被他们吃得快揭不开锅了。

邻村有个叫灵芝的姑娘，她聪明伶俐，为人善良，经常用自己的智慧巧斗恶人。她听了这件事后，决定惩治一下八戒们。她来到郭家村，开了一个饭铺，八戒们闻讯赶来，灵芝姑娘假装惊喜地说：

“悟能师傅，你能到我的饭铺，真是太荣幸了。以后你们就到我这儿来吃饭，不要到别的地方去了。”她停了一下说：

“这儿有张圆桌，专门为你们准备的，你们十位每次都按不同的次序入座，等你们把所有的次序都坐完了，我就免费提供你们饭菜。但在此之前，你们每吃一顿饭，都必须为村里的一户村民做一件好事，你们看怎么样？”八戒们一听这诱人的建议，兴奋得不得了，连声说好。

于是他们每次都按约定的条件来吃饭，并记下入座次序。这样过了几年，新的次序仍然层出不穷，八戒百思不得其解，只好去向悟空请教。悟空听了不禁哈哈大笑起来，说：

“你这呆子，这么简单的帐都算不过来，还想去沾便宜，你们是永远也吃不到这顿免费饭菜的。”“难道我们吃。

二、三十年，还吃不到吗？”悟空说：“那我就给你算算这笔帐吧。

我们先从简单的数算起。假设是三个人吃饭，我们先给他们编上的序号，排列的次序就有6种，即123，132，213，231，312，321。如果是四个人吃钣，第一个人坐着不动，其他三个人的座位就要变换六次，当四个人都轮流作为第一个人坐着不动时，总的排列次序就是6×4＝24种。

按就样的方法，可以推算出：五个人去吃饭，排列的次序就有24×5＝120种……10个人去吃钣就会有3628800种不同的排列次序。因为每天要吃3顿钣，用3628800÷3就可以算出要吃的天数：

1209600天，也就是将近2024年。你们想想，你们能吃到这顿免费钣菜吗？”

经悟空这么一算，八戒顿时明白了灵芝姑娘的用意，不禁羞愧万分。从此以后，八戒经常带着徙弟们帮村民们干活。他们又重新赢得了人们的喜欢。

第五单元：数学广角。

数学家的故事——苏步青。

苏步青2024年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂。

可是，后来的一堂数学课影响了他一生的道路。

那是苏步青上初三时，他就读浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说：

“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举。天下兴亡，匹夫有责，在座的每一位同学都有责任。

”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学。

数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学。”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘。

杨老师的课深深地打动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂。读书，不仅为了摆脱个人困境，而是要拯救中国广大的苦难民众；读书，不仅是为了个人找出路，而是为中华民族求新生。当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠。

在杨老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数学，并从此立下了“读书不忘救国，救国不忘读书”的座右铭。一迷上数学，不管是酷暑隆冬，霜晨雪夜，苏步青只知道读书、思考、解题、演算，4年中演算了上万道数学习题。现在温州一中（即当时省立十中）还珍藏着苏步青一本几何练习薄，用毛笔书写，工工整整。

中学毕业时，苏步青门门功课都在90分以上。

17岁时，苏步青赴日留学，并以第一名的成绩考取东京高等工业学校，在那里他如饥似渴地学习着。为国争光的信念驱使苏步青较早地进入了数学的研究领域，在完成学业的同时，写了30多篇**，在微分几何方面取得令人瞩目的成果，并于2024年获得理学博士学位。获得博士之前，苏步青已在日本帝国大学数学系当讲师，正当日本一个大学准备聘他去任待遇优厚的副教授时，苏步青却决定回国，回到抚育他成长的祖任教。

回到浙大任教授的苏步青，生活十分艰苦。面对困境，苏步青的回答是“吃苦算得了什么，我甘心情愿，因为我选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！”

这就是老一辈数学家那颗爱国的赤子之心。

第六单元：整理与复习。

数学家祖冲之。

祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人。他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家．

祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算。秦汉以前，人们以"径一周三"做为圆周率，这就是"古率"。后来发现古率误差太大，圆周率应是"圆径一而周三有余"，不过究竟余多少，意见不一。

直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术"，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长。刘徽计算到圆内接96边形，求得π=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确。

祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在3.1415926与3.1415927之间。

并得出了π分数形式的近似值，取为约率，取为密率，其中取六位小数是3.141929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数。祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查。

若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的。祖冲之计算得出的密率，外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了，为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率"。

祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了《大明历》，开辟了历法史的新纪元。

祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们当时采用的一条原理是："幂势既同，则积不容异．"意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。

这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的。为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为"祖暅原理"。

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