用物理思想解2023年江苏高考数学题

作者：李娟。

**：《中学物理·高中》2023年第07期。

题目（2023年江苏）如图1，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米。某炮位于坐标原点。已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-120（1+k2）x2 （k>0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关。

炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？

请说明理由。

1 分析。本题看似简单，但实际得分率并不高，原因可能是文科的学生对实际的情景不熟悉，或是对函数知识掌握的不好。题中的信息：

炮位于地面上的o点，斜向上发射炮弹，给出的炮弹的轨迹方程为抛物线，这些信息与物理学中的斜抛运动特点完全吻合。笔者认为：可以用物理学中的斜抛运动思想处理，或许效果会更好一点。

2 转换。将（3）式与题中所给的抛物线方程类比，由对应项系数相等可知：k=tanθ符合原题中的k值与发射方向有关的条件，120=g2v20，即v0=10 m/s。

第二问：求击中3.2 m高度处目标的横坐标a的最大值。

炮弹可以在上升阶段击中目标，也可以在下落过程中击中目标，如图3所示，显然：炮弹在下落过程中击中目标时横坐标数值较大。

解法一击中目标时，炮弹的水平方向的位移为a，竖直方向的位移为3.2 m，将x=a，y=3.2带入（3）式得。

解法二设击中目标时的速率为v，由机械能守恒定律可得。

4 思考。1）炮弹竖直向上发射时，炮弹与y=3.2 m的交点有两个点，这两个点重合，两点间的距离为零，恰好在最高点击中目标时两点间的距离也为零，发射角θ从90°逐渐减小的过程中，炮弹轨迹的抛物线与y=3.

2 m相交的两点间的距离从零开始先增大后减小，即a的值先增大后减小。