一、选择题共8小题．每小题5分。共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项。
1．（5分）已知集合，，则
a． b． c．， d．
2．（5分）设不等式组，表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
a． b． c． d．
3．（5分）设，．“是“复数是纯虚数”的
a．充分而不必要条件 b．必要而不充分条件
c．充分必要条件 d．既不充分也不必要条件。
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的值为
a．2 b．4 c．8 d．16
5．（5分）如图，，于点，以为直径的圆与交于点．则
a． b． c． d．
6．（5分）从中选一个数字．从中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为
a．24 b．18 c．12 d．6
7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是
a． b． c． d．
8．（5分）某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，则的值为
a．5 b．7 c．9 d．11
二。填空题共6小题．每小题5分．共30分。
9．（5分）直线为参数）与曲线为参数）的交点个数为 ．
10．（5分）已知是等差数列，为其前项和．若，，则 ．
11．（5分）在中，若，，，则 ．
12．（5分）在直角坐标系中．直线过抛物线的焦点．且与该抛物线相交于、两点．其中点在轴上方．若直线的倾斜角为．则的面积为 ．
13．（5分）已知正方形的边长为1，点是边上的动点．则的值为 ．
14．（5分）已知，，若同时满足条件：，或；，．
则的取值范围是 ．
三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13分）已知函数．
1）求的定义域及最小正周期；
2）求的单调递增区间．
16．（14分）如图1，在中，，，分别是，上的点，且，，将沿折起到△的位置，使，如图2．
1）求证：平面；
2）若是的中点，求与平面所成角的大小；
3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．
17．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可**物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可**物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，，，其中，．当数据，，的方差最大时，写出，，的值（结论不要求证明），并求此时的值．
求，其中为数据，，，的平均数）
18．（13分）已知函数，
1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求、的值；
2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值．
19．（14分）已知曲线。
1）若曲线是焦点在轴点上的椭圆，求的取值范围；
2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点、，直线与直线交于点．求证：，，三点共线．
20．（13分）设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记为所有这样的数表构成的集合．对于，记（a）为的第行各数之和，（a）为的第列各数之和；记（a）为（a），（a），，a），（a），（a），，a）中的最小值．
1）如表，求（a）的值；
2）设数表形如。
求（a）的最大值；
3）给定正整数，对于所有的，求（a）的最大值．
2023年北京市高考数学试卷（理科）
参***与试题解析。
一、选择题共8小题．每小题5分。共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项。
1．（5分）已知集合，，则
a． b． c．， d．
解答】解：因为或，又集合，所以或，故选：．
2．（5分）设不等式组，表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
a． b． c． d．
解答】解：其构成的区域如图所示的边长为2的正方形，面积为，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率。
故选：．3．（5分）设，．“是“复数是纯虚数”的
a．充分而不必要条件 b．必要而不充分条件
c．充分必要条件 d．既不充分也不必要条件。
解答】解：因为，．“时“复数不一定是纯虚数”．
复数是纯虚数”则“”一定成立．
所以，．“是“复数是纯虚数”的必要而不充分条件．
故选：．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的值为
a．2 b．4 c．8 d．16
解答】解：第1次判断后，第2次判断后，第3次判断后，第4次判断后，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．
故选：．5．（5分）如图，，于点，以为直径的圆与交于点．则
a． b． c． d．
解答】解：连接，以为直径的圆与交于点，于点，故选：．
6．（5分）从中选一个数字．从中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为
a．24 b．18 c．12 d．6
解答】解：从中选一个数字0，则0只能排在十位，从中选两个数字排在个位与百位，共有种；
从中选一个数字2，则2排在十位，从中选两个数字排在个位与百位，共有种；
2排在百位，从中选两个数字排在个位与十位，共有种；
故共有种。故选：．
7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是
a． b． c． d．
解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以，几何体的表面积为：．
故选：．8．（5分）某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，则的值为
a．5 b．7 c．9 d．11
解答】解：若果树前年的总产量与在图中对应点。
则前年的年平均产量即为直线的斜率。
由图易得当时，直线的斜率最大。
即前9年的年平均产量最高，故选：．
二。填空题共6小题．每小题5分．共30分。
9．（5分）直线为参数）与曲线为参数）的交点个数为 2 ．
解答】解：直线为参数）化为普通方程为。
曲线为参数）化为普通方程为。
圆心到直线的距离为。
直线与圆有两个交点。
故答案为：2
10．（5分）已知是等差数列，为其前项和．若，，则 1 ．
解答】解：是等差数列，解得，故答案为：1．
11．（5分）在中，若，，，则 4 ．
解答】解：由题意，故答案为：4
12．（5分）在直角坐标系中．直线过抛物线的焦点．且与该抛物线相交于、两点．其中点在轴上方．若直线的倾斜角为．则的面积为 ．
解答】解：抛物线的焦点的坐标为。
直线过，倾斜角为。
直线的方程为：，即。
代入抛物线方程，化简可得。
或。在轴上方。
的面积为。故答案为：
13．（5分）已知正方形的边长为1，点是边上的动点．则的值为 1 ．
解答】解：因为．
故答案为：1
14．（5分）已知，，若同时满足条件：，或；，．
则的取值范围是 ．
解答】解：对于①，当时，又①，或。
在时恒成立。
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与轴交点都在的左面。
则。即①成立的范围为。
又②， 此时恒成立。
在有成立的可能，则只要比，中的较小的根大即可，当时，较小的根为，不成立，当时，两个根同为，不成立，当时，较小的根为，即成立．
综上可得①②成立时．
故答案为：．
三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13分）已知函数．
1）求的定义域及最小正周期；
2）求的单调递增区间．
解答】解： ，
1）原函数的定义域为，，最小正周期为．
2）由，解得，，又，原函数的单调递增区间为，，，
16．（14分）如图1，在中，，，分别是，上的点，且，，将沿折起到△的位置，使，如图2．
1）求证：平面；
2）若是的中点，求与平面所成角的大小；
3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．
解答】（1）证明：，平面，又平面，
又， 平面。
2）解：如图建系，则，0，，，0，，，0，，，3，，，2，
设平面法向量为。
则。又，0，， 0，
与平面所成角的大小。
3）解：设线段上存在点，设点坐标为，，，则，
设平面法向量为。
则。假设平面与平面垂直，则，，
不存**段上存在点，使平面与平面垂直。
17．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可**物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可**物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，，，其中，．当数据，，的方差最大时，写出，，的值（结论不要求证明），并求此时的值．
求，其中为数据，，，的平均数）
解答】解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为；
2）由题意可知：生活垃圾投放错误有，故生活垃圾投放错误的概率为；
3）由题意可知：，，的平均数为200
因此有当，，时，有．
18．（13分）已知函数，
1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求、的值；
2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值．
解答】解：（1），则，，，则，由为公共切点，可得：①
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