数学作业：
作业要求：准备一本专门的整理本（最好是硬皮本），工工整整的抄写老师精选的部分题目，然后将此题弄明白，工整程度以家长评判过关为准（家长认为不合格者可以撕掉让学生重写），并请家长签字确认。
1.如图，在△abc中，d是bc边的中点，f、e分别是ad及延长线上的点，cf∥be，（1）求证：△bde≌△cdf
（2）请连结bf、ce，试判断四边形becf是何种特殊四边形，并说明理由。
证明：（1）∵cf∥be∴ebd＝fcd
又∵∠bde＝∠cdf，bd＝cd
△bde≌△cdf
2）四边形becf是平行四边形。
由△bde≌△cdf得ed＝fd
bd＝cd四边形becf是平行四边形。
2.已知命题：如图，点a，d，b，e在同一条直线上，且ad=be， ∠a=∠fde，则△abc≌△def.
判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明。
解：是假命题。
以下任一方法均可：
①添加条件：ac=df.
证明：∵ad=be,ad+bd=be+bd，即ab=de. …1分。
在△abc和△def中，ab=de，a=∠fde，ac=df
△abc≌△def(sas).
添加条件：∠cba=∠e
证明：∵ad=be,
ad+bd=be+bd,即ab=de.
在△abc和△def中，a=∠fde，ab=de，cba=∠e ，
△abc≌△def(asa).
添加条件：∠c=∠f.
证明：∵ad=be,ad+bd=be+bd,即ab=de.
在△abc和△def中，a=∠fde，c=∠f ，ab=de，
△abc≌△def(aas)
3. 已知：□中，e、f分别是ab、cd的中点，连接af、ce．
1）求证：△bec ≌ dfa；
2）连接ac，若ca = cb，判断四边形aecf是什么特殊四边形？并证明你的结论．
证明：（1）∵四边形是平行四边形，ab＝cd,∠b = d，bc＝ad．
e 、f分别是ab、cd的中点，．
be＝df．
2）四边形aecf是矩形．
四边形是平行四边形，ab ∥ cd且ab = cd．
e 、f分别是ab、cd的中点，．
ae ∥ cf且ae = cf．
四边形aecf是平行四边形．
连接ac，∵ca = cb，e是ab的中点，ce ⊥ab，即∠aec =90°
□aecf是矩形．
4. 问题提出。
我们在分析解决数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小．解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差变形，利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式m、n的大小，只要作出它们的差m－n，若m－n﹥0，则m﹥n；若m－n=0，则m=n；若m－n﹤0，则m﹤n．
问题解决。如图①，把边长为a＋b的大正方形（）分割成两个边长分别是a、b的小正方形以及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和m与两个矩形面积之和n的大小．
由图可知，m =，n =2abm－n =
m﹥n类比应用。
1）已知小明和小亮购买同一种商品的平均**分别为元∕千克，元∕千克，试比较小明和小亮所购商品的平均**的高低（a，b是正数，且a≠b）．
2）试比较图②、图③两个矩形的周长m1、n1（b﹥c）的大小．
拓展应用。小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，箱子的尺寸如图④（0﹤c﹤a﹤b），售货员分别按图⑤、图⑥、图⑦三种方法进行**，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？
请说明理由。
解：类比应用。
a，b是正整数且。
即小明的平均**比小亮的高。
2）由图知，
b﹥c，∴2(b-c)﹥0.即m1－n1﹥0， m1﹥n1.
所以第一个矩形的周长大于第二个矩形的周长。
拓展应用。设图⑤的**绳长为l1，则l1=，
设图⑥的**绳长为l2，则l2=，设图⑦的**绳长为l3，则l3=，l1－ l2
l1﹥l2l3－ l2
l3﹥l2（由式子观察得出l3﹥l2，l1﹥l2也可得分。）
l3－ l1=
a﹥c，∴2(a-c)﹥0.即l3－l1﹥0，l3﹥l1.
所以第三种**方法用绳最长，第二种最短。
5. 已知：如图，在△abc中，ab = ac = 10 cm，bd⊥ac于d，且bd = 8 cm．点m从点a出发，沿ac方向匀速运动，速度为2 cm/s；同时，直线pq由点b出发沿ba方向匀速运动，速度为1 cm/s，运动过程中始终保持pq∥ac，直线pq交ab于p，交bc于q，交bd于f，连接pm，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）.
解答下列问题：
1）当t为何值时，四边形pqcm是平行四边形？
2）设四边形pqcm的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
3）是否存在某一时刻t，使s四边形pqcm = s△abc？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
4）连接pc，是否存在某一时刻t，使点m**段pc的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
证明：1）∵四边形pqcm是平行四边形，pm ∥qc.
∴ap =am.
10－t=2 t, 解得t=
答：当t = s时，四边形pqcm是平行四边形。
（2）过p作，交ac于e.
pm ∥qc，△pbq∽△abc，△pbq是等腰三角形，pq =pb= t，即，解得bf =，fd =.
又∵mc =ac－am= 10－2 t， y =
答：y与t 之间的函数关系式是y =.
（3）s△abc ==40，当y =时，解得t1=，t2=（舍去）.
答：当t =s时，s四边形pqcm =s△abc.
4）假设存在某一时刻t，使点m**段pc的垂直平分线上，则mp =mc.
过m作，交ab于h，由△ahm ∽△adb，又ad，即。
在rt△hmp中，又∵，由，解得：t 1=，t 2=0（舍去）.
答：当t = s时，点m**段pc的垂直平分线上。
6. 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结．请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）
图2中△abe≌c△acd
证明：．△abc与aed均为等腰直角三角形∴ab=ac ,ae=ad, ∠bac=∠ead=90°∴∠bac+∠cae=∠ead+∠cae
即∠bae=∠cad
△abe≌△acd
(2)证明：由（1）△abe≌△acd知。
acd=∠abe=45°
又∠acb=45°
∠bcd=∠acb+∠acd=90°
dc⊥be7. 如图13－1，一等腰直角三角尺gef的两条直角边与正方形abcd的两条边分别重合在一起．现正方形abcd保持不动，将三角尺gef绕斜边ef的中点o（点o也是bd中点）按顺时针方向旋转．
1）如图13－2，当ef与ab相交于点m，gf与bd相交于点n时，通过观察或测量bm，fn的长度，猜想bm，fn满足的数量关系，并证明你的猜想；
2）若三角尺gef旋转到如图13－3所示的位置时，线段fe的延长线与ab的延长线相交于点m，线段bd的延长线与gf的延长线相交于点n，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解：（1）bm=fn．
证明：∵△gef是等腰直角三角形，四边形abcd是正方形， ∠abd =∠f =45°，ob = of．
又∵∠bom=∠fonobm≌△ofn ．
bm=fn．
2）bm=fn仍然成立．
证明：∵△gef是等腰直角三角形，四边形abcd是正方形，∠dba=∠gfe=45°，ob=of．
∠mbo=∠nfo=135°．
又∵∠mob=∠nof， ∴obm≌△ofn ．
bm=fn．
8. 含角的直角三角板（）绕直角顶点沿逆时针方向旋转角（），再沿的对边翻折得到，与交于点，与交于点，与相交于点．
1）求证：．
2）当时，找出与的数量关系，并加以说明．
解（1） 证明：∵∠a=∠a′ ac＝a′c
∠acm＝∠a′cn＝900－∠mcn
2）在rt△abc中，∴∠a＝900－300＝600
又∵，∴mcn＝300，∠acm＝900－∠mcn＝600
∠emb′＝∠amc＝∠a＝∠mca＝600
∵∠b′＝∠b＝300
所以三角形meb′是rt△meb′且∠b′＝300
所以mb′＝2me
9. 已知：如图，一等边三角形abc纸片的边长为2a，e是ab边上一动点，（点e与点a、b不重合），过点e作ef∥bc，交ac于点f，设ef=x.
1）用x的代数式表示△aef的面积。
2）将△aef沿ef折叠，折叠后与四边形bcfe
重叠部分的面积为y，求出y关于x的函数关。
系式，并写出自变量x的取值范围。
解：在等边△abc中。
作ad⊥bc于d，交ef于h
bd=dc=
又∵tan60°=
ad=a ef∥bc
ah=x
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