第四讲平面几何部分。
2. 掌握五大面积模型的各种变形。
知识点拨。一、等积模型。
等底等高的两个三角形面积相等；
两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如右图。夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；
反之，如果，则可知直线平行于．
等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、鸟头定理。
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在中，分别是上的点如图。
(或在的延长线上，在上)，则。
图图。三、蝴蝶定理。
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
或者②蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
的对应份数为．
四、相似模型。
一)金字塔模型二) 沙漏模型。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、燕尾定理。
在三角形中，，，相交于同一点，那么．
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径。
六、正方形面积等于对角线的平方除以2.如图：
sabdc=saefc=ac2
很明显，大正方形面积是小正方形的两倍，因为大正方形有4个直角三角形，而小的只有2个）
典例精讲。例1 三角形abc的面积为36平方厘米，d上分别为bc、ac边上的三等分点(如图)。则三角形ade的面积为平方厘米？
例2 如图，△abc中，cd=3ad，ec=3be，那△abo的面积占△abc面积的___分之。
例３、如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于 ．
例４、如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？
例５、四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的___倍．
巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形的面积；⑵？
例６、如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．
例７、如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．
巩固】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是平方厘米．
例８如右图，三角形中，，且三角形的面积是，则三角形的面积为___三角形的面积为___三角形的面积为___
课后练习：课后练习：
练习1. 已知的面积为平方厘米，，求的面积．
练习2. 如图，四边形的面积是平方米，，，求四边形的面积．
练习3. 正方形的面积是120平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是平方厘米．
练习4. 如图，已知，，，则 ．
练习5. 如图，正方形的面积是平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是___平方厘米．
练习6. 如图，中，点是边的中点，点、是边的三等分点，若的面积为1，那么四边形的面积是。
练习7. 如右图，三角形中，，且三角形的面积是，求角形的面积．
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