题1：如图，点a、b、c顺次在直线l上，点m是线段ac的中点，点n是线段bc的中点．若想求出mn的长度，那么只需条件（ ）
a．ab=12 b．bc=4 c．am=5 d．cn=2
考点：比较线段的长短．
专题：计算题．
分析：根据点m是线段ac的中点，点n是线段bc的中点，可知：mn=mc-nc=1/2ac-1/2bc=1/2(ac-bc)=1/2ab，继而即可得出答案．
解答：解：根据点m是线段ac的中点，点n是线段bc的中点，可知：mn=mc-nc=1/2ac-1/2bc=1/2(ac-bc)=1/2ab
点评：本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
题2：根据以下10个乘积，回答问题：
1）试将以上各乘积分别写成一个“□2-2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）
]平方差公式．
分析：利用两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差．如11×29；可想几加几等于29，几减几等于11，可得20+9和20-9，可得11×29=202-92，同理思考其它的．
解答：解：（1）11×29=202-92；12×28=202-82；13×27=202-72；
20×20=202-02．（4分）
例如，11×29；假设11×29=□2-○2，因为□2-○2
所以，可以令□-○11，□+29．
解得，□=20，○=9．故11×29=202-92．（5分）
或11×29=（20-9）（20+9）=202-92．5分）
2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20．（7分）
若a+b=40，a、b是自然数，则ab≤202=400．（8分）
若a+b=40，则ab≤202=400．（8分）
若a+b=m，a、b是自然数，则ab≤()2．（9分）
若a+b=m，则ab≤()2．（9分）
若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40．且。
a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥≥an-bn|，则a1b1≤a2b2≤a3b3≤≤anbn．（10分）
若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m．且。
a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…an-bn|，则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．（10分）
说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③或④之一的得（2分）；
给出结论⑤或⑥之一的得（3分）．
点评：此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．
因为 x^2-4x+1=0, 所以 x^2+1=4x, 两边除以x得到： x+1/x=4.
所以 x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2=4^2-2=16-2=14.
题4：探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：
1）请猜想1+3+5+7+9+…+19=102；
2）请猜想1+3+5+7+9+…+2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=（n+2）2；
3）请用上述规律计算：103+105+107+…+2007+2009．
考点：规律型：数字的变化类．
专题：规律型．
分析：（1）根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方；
2）根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方，得出答案即可；
3）利用以上已知条件得出103+105+107+…+2007+2009=（1+3+5+…+2007+2009）-（1+3+5+…+99+101），求出即可．
解答：解：（1）由已知得出：
依此类推：第n个所代表的算式为：1+3+5+…+2n-1）=n2；
故当2n-1=19，即n=10时，1+3+5+…+19=102．
2=(n+2)2；
点评：此题主要考查了数字变化规律，培养学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目的难点．
题4：2013-3-10 理科爱好者 2011第25期。
关系为pb+pc>ab+ac
证明：延长ba到点e，使ae=ac
连接pe∠eap=∠cap，ae=ac，ap=ap
△eap≌△cap
pe=pc在△pbe中。
pe+pb>be
pc+pb>be
pb+pc>ab+ac
ba延长线上做ae=ac
角cae的平分线为ad
连接ce pe
容易等出三角形aep全等acp 所以pc=pe
所以ab+ac=ab+ae<=bp+be=pb+pc
当p点和a点重合时取等号。
七年级下学案第52页。
如图，在△abc中，∠bac=2∠b，ab=2ac，求证：△abc是直角三角形．
考点：直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：可作线段ab的垂直平分线，垂足为d，且与bc相交于点e，如图所示，再利用全。
等三角形的性质即可求解．
解答：证明：如图，作线段ab的垂直平分线，垂足为d，且与bc相交于点e，易证△aed≌△bed．
ad=ab=×2ac=ac，∠b=∠ead．
∠bac=2∠b，∠ead+∠eac=∠bac，∠eac=∠ead．
在△aec和△aed中，ae=ae，∠eac=∠ead，ac=ad，△aec≌△aed．
∠c=∠eda．
∠eda=90°，∠c=90°．
故△abc是直角三角形．
点评：熟练掌握直角三角形的性质及判定．
如图，p是等边三角形abc内的一点，连结pa，pb，pc，以bp为边变作∠pbq＝60°，bq＝bp，连结cq
1】观察并猜想ap与cq之间的大小关系，并证明猜想。
2】若pa∶pb∶pc＝3∶4∶5，连结pq，试判断△pqc的形状，说明理由。
1）猜想：ap＝cq．证明如下：
在△abp与△cbq中，∵ab＝cb，bp＝bq，∠abc＝∠pbq＝60°，所以△bcq可以看作是△bap绕点b顺时针旋转60°而得到的．∴ap＝cq．
（2）由pa∶pb∶pc＝3∶4∶5，可设pa＝3a，pb=4a，pc=5a．
连接pq，在△pbq中，由于pb＝bq＝4a，且∠pbq＝60°．
∴△pbq为正三角形．∴pq＝4a．
于是在△pqc中，∵pq2＋qc2＝16a2+9a2=25a2=pc2．
∴△pqc是直角三角形，∠pqc=90°．
第一问 ap=cq
因为bp=bq 角bpq=60
所以三角形bpq为等边三角形。
abc=∠abp+∠pbc=60
pbq=∠pbc+∠cbq=60
所以∠abp=∠cbq
因为ab=bc bp=bq
所以三角形abp和三角形cbq全等。
所以ap=cq
第二问是直角三角形。
设ap:bp:cp=3x:4x:5x
所以ap=cq=3x
因为三角形bpq是等边三角形所以bp=pq=4x
3 4 5 是勾股数所以3x 4x 5x也是勾股数所以是直角三角形。
1、某商人一次卖出两件商品，一件赚15％，一件赔了15％。卖家都是1955，在这次买卖过逞中商人是赔了___元。
2、张叔叔用若干元人民币购买了一种年利率为10% 的一年期债券，到期后他取出本金的一半用作购物，剩下的一半和所得的利息又全部买了这种一年期债券（利率不变），到期后得本息和1320元。问张叔叔当初购买这咱债券花了多少元？
解：设当初购买了x元，则。
x+x*10% -x/2）*（1+10%）=1320
0.6x*1.1=1320
x=2000
所以张叔叔当时购买了2000元这种债券。
3、下图的数阵是由77个偶数构成的。
1）图中平行四边形框内的4个数有什么关系？
2）在数阵中任意作一个类似于（1）的平行四边形框，设框内的一个数为x，那么其余三个数如何表示？
3）小颖说她框出的4个数之和为436，你能求出它们吗？
4）小明说4个数之和为326，你能求出这四个数吗？
5）框中四个数的和能否等于240？说明你的理由。
1）图中平行四边形框内的4个数有什么关系？
第二个数比第一个数大2.
第三个数比第一个数16.
第四个数比第一个数大18.
2）在数阵中任意作一个类似于（1）的平行四边形框，设框内的一个数为x，那么其余三个数如何表示？
假设第一个数为x
第二个数为x+2.
第三个数为x+16.
第四个数为x+18
3）小颖说她框出的4个数之和为436，你能求出它们吗？
x+x+2+x+16+x+18=436
x=100这四个数分别是
4）小明说4个数之和为326，你能求出这四个数吗？
x+x+2+x+16+x+18=326
x=72.5
因为数阵中每个数都是偶数，所以4个数之和不可能为326。
5）框中四个数的和能否等于240？说明你的理由。
假设四个数的和等于240
x+x+2+x+16+x+18=240
x=51因为数阵中每个数都是偶数， 而x=51为奇数，所以四个数的和不可能等于240。
4、某店原来将一批苹果按100%的利润定价**，由于定价过高，无人购买，不得不按38%的利润重新定价，这样售出了其中的40%，此时，因害怕生于水果腐烂变质，不得不再次降低，售出了剩下的全部的水果，结果，实际获得的利润是原定利润的30.2%，那么第二次降价后的**是原定价的百分之几？
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