第五讲找几何图形的规律。
找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力。为培养这方面的能力，本讲将从几何图形的问题入手，逐步分析应从哪些方面来观察思考。因此，学习本讲的知识有助于养成全面地、由浅入深、由简到繁观察思考问题的良好习惯，可以逐步掌握通过观察发现规律并利用规律来解决问题的方法。
下面就来看几个例子。
例1 按顺序观察图5—1与图5—2中图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？
分析观察中，注意到图5—1中每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增多，且三角形的个数按、x、1的顺序变化。显然x应等于2；图5—2中黑点的个数从左到右逐次增多，且每一格（第一格除外）比前面的一格多两个点。事实上，本题中几何图形的变化仅表现在数量关系上，是一种较为基本的、简单的变化模式。
解：在图5—1的“？”处应是三角形△，在图5—2的“？”处应是。
例2 请观察右图中已有的几个图形，并按规律填出空白处的图形。
分析首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组成的；其次，在所给出的图形中，我们发现各行、各列均没有重复的图形，而且所给出的图形中，只有圆、三角形和正方形三种图形。由此，我们知道这个图的特点是：
① 仅由圆、三角形、正方形组成；
② 各行各列中，都只有一个圆、一个三角形和一个正方形。
因此，根据不重不漏的原则，在第二行的空格中应填一个三角形，而第三行的空格中应填一个正方形。
解略。例3 按顺序观察下图中图形的变化规律，并在“？”处填上合适的图形。
分析显然，图（a）、图（b）中都是圆，而图（c）中却不是圆；同时，图（a）、（c）中都有3个图形，而（b）中只有两个。由此可知：图（a）到（b）的变化规律对应于图（c）到（d）的变化规律。
再注意到图（a）到图（b）中图形在繁简、多少、位置几方面的变化，就容易得到图（d）中的图形了。
解：在上图的“？”处应填如下图形。
例4 下图中的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形。
分析本题中，首先可以注意到每个图形都由大、小两部分组成，而且，大、小图形都是由正方形、三角形和圆形组成， 图中的任意两个图形均不相同。因此，我们不妨试着把大、小图形分开来考虑，再一次观察后我们可以发现：对于大图形来说，每行每列的图形决不重复。
因此，每行每列都只有一个大正方形，一个大三角形和一个大圆，对于小图形也是如此，这样，“？处的图形就不难得出。
解：图中，（b）、（f）、（h）处的图形分别应填下面的图甲、图乙、图丙。
小结：对于较复杂的图形来说，有时候需要把图形分开几部分来单独考虑其变化规律，从而把复杂问题简单化。
例5 观察下列各**的变化规律，并在“？”处画出相关的图形。
分析我们先来看这样两个图：
（甲）图与（乙）图中，点a、b、c、d的顺序和距离都没有改变，只是每个点的位置发生了变化，如：甲图中，a在左方；而乙图中，a在上方，……我们把这样一种位置的变化称为图形的旋转，乙图可以看作是甲图。
90°（或一格）。
现在我们再回到题目上来，容易看出：例5题中按（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）、（h）、（i）顺序排列的9个图形，它们的变化规律是：每一个图形（a除外）都是由其前一个图形逆时针旋转90°而得到的。
甲乙丙丁四个图形变化规律也类似。
解：图（i）处的图形应是下面左图，丁图处的图形应是下面右图。
注意：因为图形是由旋转而得到的，所以其中三角形、菱形的方向随旋转而变化，作图的时候要注意到这一点。
旋转是数学中的重要概念，掌握好这个概念，可以提高观察能力，加快解题速度，对于许多问题的解决，也有事半而功倍的效果。
下面再来看几个例子：
例6 仔细观察下图中图形的变化规律，并在“？”处填入合适的图形。
分析显然，图（a）、（b）的变化规律对应于图（c）的变化规律；图（d）、（e）的变化规律也对应于图（f）的变化规律，我们先来观察（a）、（b）两**形，发现在形状、位置方面都发生了变化，即把圆变为它的一半——半圆，把三角形也变为它的一半——直角三角形；同时，变化后图形的位置相当于把原图形沿顺时针方向旋转90°而得到。因此，我们很容易地就把图（c）中的直角梯形还原为等腰梯形并通过逆时针旋转而得到图（c）“？处的图形。
当我们从左到右来观察图（d）、（e）的变化规律时，我们发现，图（d）、（e）的变化规律有与图（a）、（b）相同的一面，即都是把一个图形变为自身的一半，但也有与图（a）、（b）不同的一面，即图（d）、（e）中右半部分的图形无法通过旋转原图来得到，只能通过上下翻转而获得。这样，我们就得到了这些图形的变化规律。
解：图（c）中“？”处的图形应是下面甲图，图（f）中“？”处的图形应是乙图。
小结：本题是一道较为复杂的题，观察的出发点主要有3点：① 形状变化；② 位置变化；③ 颜色变化。
例7 四个小动物排座位，一开始，小鼠坐在第1号位子上，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号。以后它们不停地交换位子，第一次上下两排交换。第二次是在第一次交换后左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换…这样一直换下去。
问：第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？（参看下图）
分析这是“华罗庚金杯”第二届初赛的一道试题，如果有充裕的时间，我们当然可以把十次变化的图都画出来，从而得到答案。10并不是一个很大的数字，因此这样的方法虽然麻烦，却也是行之有效的。然而，在初赛中，本题的思考时间只有30秒，不可能一步步把图画出来，这就要求我们仔细观察，认真思考，找出规律再做题。
方法1：因为题目中问的只是第十次交换位子后，小兔的位子是几。因此，我们只需考虑小兔的位子变化规律，小兔刚开始时在3号位子，记为③，则。
次交换座位，小兔的座位按顺时针方向转动一格，每四次交换座位后，小兔又回到原处，知道了这个规律，就不难得出答案。即10次后，小兔到了第2号位子。
方法2：受方法一的启示，我们可以思考，其他小动物的变化规律怎样？四个小动物的整体变化规律又怎样呢？
事实上，当我们仔细观察示意图时会发现，开始的图沿顺时针方向旋转两格（即180°）时，恰得到第二次交换位子后的图，由此可以知道，每一次上下交换后再一次左右交换的结果就相当于把原图沿顺时针方向旋转180°，第十次交换位子后，相当于是这些小动物沿顺时针方向转了4圈半，这样，我们就得到了小兔的位子及它们的整体变化规律。但其中需注意一点的是：单独一次上下（或左右）的交换与旋转90°得到的结果是不同的。
小猫、小鼠的位子变化规律是沿逆时针方向，而小猴的位子变化规律与小兔相似。
解：第十次交换位子后，小兔到了2号位子。
例8 将a、b、c、d、e、f六个字母分别写在正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中判断这个正方体中，哪些字母分别写在相对的面上。
分析本题所给的是一组立体几何图形。但是，我们注意到：由于图（a）、（b）、（c）都是同一个正方体的不同摆法，所以，（a）、（b）、（c）可以通过旋转来互相转化，这三个图形中，字母c所在的一面始终不改变位置。
因此，这三个图形的转化只能是前后转动。把图（a）向后翻转一次（90°）得图（b），由此可知，字母a的对面是d，把图（a）向前翻转一次（90°）得图（c），所以，字母b的对面是字母e，最后得出只有字母c、f相对。
解：正方体中，相对的字母分别是a—d、b—e、c—f。
总结：一般地说，在观察图形变化的规律时，应抓住以下几点来考虑问题：
1.图形数量的变化；
2.图形形状的变化；
3.图形大小的变化；
4.图形颜色的变化；
5.图形位置的变化；
6.图形繁简的变化等。
对较复杂的图形，也可分成几部分来分别考虑。总而言之，只要全面观察，勤于思考，就一定能抓住规律、解决问题。
和倍问题的特点是利用大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数各是多少的应用题，解答和倍应用题的最好助手是，采用画线段图的方法来表示两种量间的数量关系，以便找到解题的途径，你要不信，请看下面例题。
例1. 三年级一班和二班少先队员共做好事360件，二班做好事的件数是一班的2倍，三年级一班和二班少先队员共做多少件好事？
分析： 画线段图。
由上图可以看出：如果我们把一班做好事的件数作为1倍，"二班做好事的件数是一班的2倍"，那么一班和二班做好事件数的和，相当于一班做好事件数的3倍，还可以理解为3份的数量是360件，求出份的数量，也就求出了一班做好事的件数。
解： 一班： 360÷(2+1)=120(件)
二班： 360-120=240(件)
或 120×2=240(件)
答：三年级一班做好事120件，二班做好事240件。
例2. 妹妹有课外书20本，姐姐有课外书25本，姐姐给妹妹多少本后，妹妹课外书是姐姐的2倍？
分析： 画线段图。
解这道题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量。从已知条件得出，不管姐姐给妹妹多少本书，妹妹得到多少本书，姐姐和妹妹的图书总和是不变的量。如果我们把姐姐剩下的书看作1份，这时妹妹的课外书可看作和姐姐剩下的课外书相等的2份，也就是姐妹两人共有的倍数相当于姐姐剩下的3倍，依据解和倍问题的方法先求出，姐姐现有课外书多少本，再与原有课外书相比较，从而求出姐姐给妹妹多少本。
解： 1.姐妹俩共有课外书的本数是：
20+25=45(本)
2.姐姐给妹妹若干本后，姐妹俩共有的倍数是：
2+1=3(倍)
3.姐姐剩下的本数是：
45÷3=15(本)
4.姐姐给妹妹课外书的本数是：
25-15=10(本)
综合算式： 25-(20+25)÷(2+1)=10(本)
答：姐姐给妹妹10本课外书。
例3. 甲、乙两个粮库原来共存大米320吨，后来从甲粮库运出40吨，给乙库运进20吨，这时甲库存的大米是乙库的２倍，两个粮库原来各存大米多少吨？
分析：根据"甲、乙两个粮库原来共存大米320吨，后来从甲库运出40吨，给乙库运进20吨"，可求出这时甲、乙粮库共存大米多少吨。根据"这时甲库存的大米是乙库的2倍"，如果这时把乙库的大米看作1份，那么甲、乙两库所存的大米就相当于乙库的3倍，于是可以求出乙库存大米多少吨，进而可求出乙库原存大米多少吨，再求出甲粮库原来存大米多少吨。
解： 1.甲库运出40吨，乙库运进20吨，这时两个粮库共存大米的吨数是：
320-40+20=300(吨)
2.这时乙粮库存大米的吨数是：
300÷(2+1)=100(吨)
3.乙粮库原存大米的吨数是：
100-20=80(吨)
4.甲粮库原存大米的吨数是：
320-80=240(吨)
综合算式：乙库 (320-40+20)÷(2+1)-20=80(吨)
甲库 320-80=240(吨)
答：甲粮库原存大米240吨，乙粮库原存大米80吨。
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