2024年考研数学指导线性代数复习技巧

发布 2020-02-15 19:30:28 阅读 3203

对于考研数学中的线性代数这一门有很多的复习技巧,掌握这些技巧之后对于提高成绩有着很大的帮助。考研辅导专家为广大考研学子总结出以下几个技巧:

一、注重对基本概念的理解与把握,正确熟练运用基本方法及基本运算。

线性代数的概念很多,重要的有:代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵,秩(矩阵、向量组、二次型),等价(矩阵、向量组),线性组合与线性表出,线性相关与线性无关,极大线性无关组,基础解系与通解,解的结构与解空间,特征值与特征向量,相似与相似对角化,二次型的标准形与规范形,正定,合同变换与合同矩阵。

往年常有考生没有准确把握住概念的内涵,也没有注意相关概念之间的区别与联系,导致做题时出现错误。例如,矩阵a=(α1,α2,…,m)与b=(β1,β2…,βm)等价,意味着经过初等变换可由a得到b,要做到这一点,关键是看秩r(a)与r(b)是否相等,而向量组α1,α2,…αm与β1,β2,…βm等价,说明这两个向量组可以互相线性表出,因而它们有相同的秩,但是向量组有相同的秩时,并不能保证它们必能互相线性表现,也就得不出向量组等价的信息,因此,由向量组α1,α2,…αm与β1,β2,…βm等价,可知矩阵a=(α1,α2,…αm)与b=(β1,β2,…βm)等价,但矩阵a与b等价并不能保证这两个向量组等价。又如,实对称矩阵a与b合同,即存在可逆矩阵c使ctac=b,要实现这一点,关键是二次型xtax与xtbx的正、负惯性指数是否相同,而a与b相似是指有可逆矩阵p使p-1ap=b成立,进而知a与b有相同的特征值,如果特征值相同可知正、负惯性指数相同,但正负惯性指数相同时,并不能保证特征值相同,因此,实对称矩阵a~b a b,即相似是合同的充分条件。

线性代数中运算法则多,应整理清楚不要混淆,基本运算与基本方法要过关,重要的有:行列式(数字型、字母型)的计算,求逆矩阵,求矩阵的秩,求方阵的幂,求向量组的秩与极大线性无关组,线性相关的判定或求参数,求基础解系,求非齐次线性方程组的通解,求特征值与特征向量(定义法,特征多项式基础解系法),判断与求相似对角矩阵,用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。

二、注重知识点的衔接与转换,知识要成网,努力提高综合分析能力。

线性代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变,复习时应当常问自己做得对不对?再问做得好不好?只有不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了。

例如:设a是m×n矩阵,b是n×s矩阵,且ab=0,那么用分块矩阵可知b的列向量都是齐次方程组ax=0的解,再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系,可以有r(b)≤n-r(a)即r(a)+r(b)≤n进而可求矩阵a或b中的一些参数。再如,若a是n阶矩阵可以相似对角化,那么,用分块矩阵处理p-1ap=∧可知a有n个线性无关的特征向量,p就是由a的线性无关的特征向量所构成,再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若λi是ni重特征值,则齐次方程组(λie-a)x=0的基础解系由ni个解向量组成,进而可知秩r(λie-a)=n-ni,那么,如果a不能相似对角化,则a的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λie-a)

又比如,对于n阶行列式我们知道:若|a|=0,则ax=0必有非零解,而ax=b没有惟一解(可能有无穷多解,也可能无解),而当|a|≠0时,可用克莱姆法则求ax=b的惟一解;可用|a|证明矩阵a是否可逆,并在可逆时通过伴随矩阵来求a-1;对于n个n维向量α1,α2,…αn可以利用行列式|a|=|1α2…αn|是否为零来判断向量组的线性相关性;矩阵a的秩r(a)是用a中非零子式的最高阶数来定义的,若r(a)

凡此种种,正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系,代数题的综合性与灵活性就较大,同学们整理时要注重串联、衔接与转换。

三、注重逻辑性与叙述表述。

线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求,通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度,考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时,应当搞清公式、定理成立的条件,不能张冠李戴,同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

线性代数中常见的证明题型有:证|a|=0;证向量组α1,α2,…αt的线性相关性,亦可引伸为证α1,α2…,αt是齐次方程组ax=0的基础解系;证秩的等式或不等式;证明矩阵的某种性质,如对称,可逆,正交,正定,可对角化,零矩阵等;证齐次方程组是否有非零解;线性方程组是否有解(亦即β能否由α1,α2…,αs线性表出);对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解;证二次型的正定性,规范形等。

总之,数学题目千变万化,有各种延伸或变式,同学们要在考试中取得好成绩,一定要认真仔细地复习,华而不实靠押题碰运气是行不通的,必须要重视三基,多思多议,不断地总结经验与教训,做到融会贯通。

2024年考研数学指导线性代数复习技巧

从大纲的角度来看,现在数。一 数二 数三的考试大纲几乎完全一样,数一的同学多一个知识点,多一个向量空间,而今年恰好考了一个二次曲面的填空题,其实质是二次型化标准形的问题。线性代数今年这五道题来说,两道解答题,数。一 数二 数三完全一样,选择题有一个是完全一样的,填空题是完全不一样的,但这三道题都是考...

2024年考研数学指导线性代数复习技巧

对于考研数学中的线性代数这一门有很多的复习技巧,掌握这些技巧之后对于提高成绩有着很大的帮助。考研辅导专家为广大考研学子总结出以下几个技巧 一 注重对基本概念的理解与把握,正确熟练运用基本方法及基本运算。线性代数的概念很多,重要的有 代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵...

2024年考研数学指导线性代数复习技巧

难忘的春游。星期五,学校终于组织我们去春游了。大概是上了六年级了,任务繁重,很少出去玩,所以我们格外珍惜这最后一期的回忆。我们去的地方,不是什么名胜古迹,也不是什么世外桃源,而是顺德长鹿休闲度假农庄。而这,却是我们第二次来 在去农庄的路上,我们有说有笑,不一会儿就来到了农庄。说是农庄,其实是一个老少...