南京市江宁高级中学2010-2011学年第二学期。
高二年级期末考试数学试卷命题人葛寄宇2023年7月2日。
满分160分时间 120分钟）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1.已知集合，，且，则等于。
2．已知复数，则的模为。
3.已知，则。
4.样本容量为200的频率分布直方图如图所示。
根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在内的频数为。
5.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于 ▲
6. “直线：与直线：平行”的充要条件是 ▲
7.若双曲线的离心率为，则= ▲
8.函数。的图象如图所示，则 ▲
9．设变量，满足约束条件。
则目标函数的最大值为 ▲
10.右图是讨论三角函数某个性质的程序框图，若输入，则输出的的值是。
11.给定下列四个命题：
①分别与两条异面直线都相交的两直线一定是异面直线；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。
其中，为真命题的序号为。
12.由“直角三角形两直角边的长分别为a,b，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线可求得该直角三角形外接圆的半径”。对于“若三棱锥三条侧棱两两互相垂直，侧棱长分别为a,b,c”，类比上述的处理方法，可得三棱锥的外接球半径为r
13.△外接圆的半径为，圆心为，且， ，则等于 ▲
14.直线与曲线有3个公共点时，实数的取值范围是 ▲
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤。
15．（本小题满分14分）
已知锐角△abc的三内角a、b、c的对边分别是。且。
（1）求角a的大小；
（2）求的值。
16.（本小题14分）
在正三棱柱中，点是的中点，．
1）求证：∥平面；
2）试在棱上找一点，使．
17. （本小题满分14分）
如图1，，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台。建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记。
（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）
1）求的取值范围；
2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值。
18.（本小题16分）
已知椭圆c：，点a、b分别是椭圆c的左顶点和上顶点，直线ab与圆g： （是椭圆的焦半距）相离，p是直线ab上一动点，过点p作圆g的两切线，切点分别为m、n．
1）若椭圆c经过两点、，求椭圆c的方程；
2）当为定值时，求证：直线mn经过一定点e，并求的值（o是坐标原点）；
3）若存在点p使得△pmn为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．
19. （本小题满分16分）
设等比数列的首项为，公比为为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足。
1） 求数列的通项公式；
2） 试确定实数的值，使得数列为等差数列；
3） 当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列。设是数列的前项和，试求满足的所有正整数。
20. （本小题满分16分）
已知函数是偶函数，a为实常数。
1）求b的值；
2）当a=1时，是否存在，使得函数在区间上的函数值组成的集合也是，若存在，求出m，n的值，否则，说明理由；
3）若在函数定义域内总存在区间(m附加题部分。
21.（选做题）从a，b，c，d四个中选做2个，每题10分，共20分．
选修4—1 几何证明选讲。
如图，ab是⊙o的直径，弦bd、ca的延长线相交于点e，ef垂直ba的延长线于点f。
1）求证：∠dea=∠dfa;
21．b（4-2矩阵与变换，本题满分10分）
已知矩阵将点变换为，且属于特征值的一个特征向量是，求矩阵．
21．c （4-2极坐标与参数方程，本题满分10分）
椭圆中心在原点，离心率为，点是椭圆上的点，若的最大值为，求椭圆的标准方程．
选修4—5不等式选讲。
已知函数，不等式在上恒成立．
1）求的取值范围；
2）记的最大值为，若正实数满足，求的最大值．
二、必做题本大题共有2小题，每题10分，共20分。
22. （本小题满分10分）
一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为。
求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率；
求的分布列及的数学期望。
23. （本小题满分10分）
如图，在棱长为3的正方体中，.
求两条异面直线与所成角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值。
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