需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。
数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。
【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。
例1、一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？
解：硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。
60和56的最大公约数是4。
答：正方形的边长是4厘米。
例2、甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？
解：要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是的倍数。因为问至少要多少时间，所以应是的最小公倍数的最小公倍数是720。
答：至少要720分钟(即12小时)这三辆汽车才能同时又在起点相遇。
例3、一个四边形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树？
解：相邻两树的间距应是的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大，那么这个相等的间距应是这几个数的最大公约数12。
所以，至少应植树(60+72+96+84)÷12=26(棵)
答：至少要植26棵树。
例4、一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。
解：如果从总数中取出1个，余下的总数便是的公倍数。因为的最小公倍数是60，又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为。
60×3+1=181(个)
答：棋子的总数是181个。
行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
【数量关系】
(顺水速度+逆水速度)÷2=船速。
(顺水速度-逆水速度)÷2=水速。
顺水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2
逆水速=船速×2-顺水速=顺水速-水速×2
【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1、一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？
解：由条件知，顺水速=船速+水速=320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时320÷8-15=25(千米)
船的逆水速为25-15=10(千米)
船逆水行这段路程的时间为320÷10=32(小时)
答：这只船逆水行这段路程需用32小时。
例2、甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？
解：由题意得甲船速+水速=360÷10=36
甲船速-水速=360÷18=20
可见(36-20)相当于水速的2倍，所以，水速为每小时(36-20)÷2=8(千米)
又因为，乙船速-水速=360÷15，所以，乙船速为360÷15+8=32(千米)
乙船顺水速为32+8=40(千米)
所以，乙船顺水航行360千米需要。
360÷40=9(小时)
答：乙船返回原地需要9小时。
例3、一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？
解：这道题可以按照流水问题来解答。
(1)两城相距多少千米？
(576-24)×3=1656(千米)
(2)顺风飞回需要多少小时？
1656÷(576+24)=2。76(小时)
列成综合算式[(576-24)×3]÷(576+24)=2.76(小时)
答：飞机顺风飞回需要2.76小时。
工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几)，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作量=工作效率×工作时间。
工作时间=工作量÷工作效率。
工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)
【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。
例1、一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？
解：题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。
由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10;
乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15;
两队合做，每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。
由此可以列出算式：1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天)
答：两队合做需要6天完成。
例2、一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？
解：设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成(1/6-1/8)，二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。
因为二人合做需要[1÷(1/6+1/8)]小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以。
(1)每小时甲比乙多做多少零件？
24÷[1÷(1/6+1/8)]=7(个)
(2)这批零件共有多少个？
7÷(1/6-1/8)=168(个)
答：这批零件共有168个。
解二：上面这道题还可以用另一种方法计算：
两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8=4∶3
由此可知，甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7
所以，这批零件共有24÷1/7=168(个)
正反比例】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定)，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。
【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。
【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率(倍数)转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
例1、修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？
解：由条件知，公路总长不变。
原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12
现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12
比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于(4-3)份，从而知公路总长为300÷(4-3)×12=3600(米)
答：这条公路总长3600米。
例2、张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？
解：做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系。
设91分钟可以做x应用题则有28∶4=91∶x
28x=91×4x=91×4÷28x=13
答：91分钟可以做13道应用题。
例3、孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？
解：书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系。
设x天可以看完，就有24∶36=x∶15
36x=24×15x=10
答：10天就可以看完。
所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。
【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和。
【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母，比的前后项分别作分子)，再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。
例1、学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？
解：总份数为47+48+45=140
一班植树560×47/140=188(棵)
二班植树560×48/140=192(棵)
三班植树560×45/140=180(棵)
答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。
例2、用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米？
解：3+4+5=1260×3/12=15(厘米)
60×4/12=20(厘米)
60×5/12=25(厘米)
答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。
例3、从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。
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