开侨中学理科数学寒假作业（三）
一．选择题。
1．已知，则下列推证中正确的是 （
ab. cd.
2．在等差数列中，首项公差，若，则（ ）
ab． cd
3． 设实数和满足约束条件，则的最小值为。
abcd．
4．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为。
abcd．
5．已知是两个非零向量，给定命题；命题，使得；则是的 （
a．充分条件 b．必要条件 c．充要条件 d．既不充分也不必要条件
6．空间四边形中，，，则<>等于（ ）
a b c － d
7.如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=bc=2,aa1=1,则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为。
a. b. c. d.
8.函数的单调递增区间是。
a. b.(0,3) c.(1,4) d.
二．填空题。
9．记数列的前项和为，且，则。
10 已知向量，若，则___若则___
11.已知抛物线方程为则其准线方程为。
12. 已知直线分别与轴、轴相交于两点，若动点**段上，则的最大值为。
13.2024年1号台风"浣熊"(neoguri)于4月19日下午减弱为热带低压后登陆阳江。如图，位于港口正东向海里处的渔船回港避风时出现故障。
位于港口南偏西，距港口海里处的拖轮接到海事部门营救信息后以海里小时的速度沿直线去营救渔船，则拖轮到达处需要小时。
14.已知函数在r上满足，则曲线在点处的切线方程是。
三．解答题。
15． 在中，已知，.
(1)求的值；(2)若为的中点，求的长。
16.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0
17.设数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，且成等差数列。
1）求数列的通项公式；（2）记的前项和为，求。
18． 如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，都垂直于平面，且，是线段上一动点．
1）求证：平面平面；
2）若平面，试求的值；
3）当是中点时，求二面角的余弦值．
19．已知函数，其中，已知，且在区间上单调递增，试用表示出的取值范围。
20．椭圆上任一点到两个焦点的距离的和为6，焦距为，分别是椭圆的左右顶点。
1）求椭圆的标准方程；（2）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；（3）设为椭圆上一动点，为关于轴的对称点，四边形的面积为，设，求函数的最大值。
cbda addd
三．解答题。
16．（本题满分12分）
在中，已知，.
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)若为的中点，求的长。
解：（ⅰ且2分。
3分。6分。
ⅱ）由（ⅰ）可得8分。
由正弦定理得，即，解得10分。
在中，所以12分。
16．解：当a＝0时，不等式的解为x＞1；当a≠0时，分解因式a(x－)(x－1)＜0
当a＜0时，原不等式等价于(x－)(x－1)＞0，不等式的解为x＞1或x＜；
当0＜a＜1时，1＜，不等式的解为1＜x＜；
当a＞1时，＜1，不等式的解为＜x＜1；
当a＝1时，不等式的解为。
17.设数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，且成等差数列。
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）记的前项和为，求。
解2分。由成等差数列得，，即，解得，故4分。
5分。法1：，
得，， ②得，
10分。12分。
18．（本题满分14分）
如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，都垂直于平面，且，是线段上一动点．
ⅰ）求证：平面平面；
ⅱ）若平面，试求的值；
ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．
解：法1：（ⅰ连结，平面，平面，∴，又∵，平面，又∵，分别是、的中点，∴，平面，又平面，平面平面4分。
ⅱ）连结，平面，平面平面，，，故8分。
ⅲ）∵平面，平面，∴，在等腰三角形中，点为的中点，∴，为所求二面角的平面角10分。
点是的中点，∴，所以在矩形中，可求得12分。
在中，由余弦定理可求得，二面角的余弦值为14分。
法2：（ⅰ同法1；
ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则，设点的坐标为，平面的法向量为，则，所以，即，令，则，故，平面，∴，即，解得，故，即点为线段上靠近的四等分点；故8分。
ⅲ），则，设平面的法向量为，则，即，令，则，，即，当是中点时，，则，二面角的余弦值为．--14分。
19.已知函数，其中，已知，且在区间上单调递增，试用表示出的取值范围。
解： 要使在区间上单调递增，需使在上恒成立。
即恒成立， 所以。
设， ,令得或(舍去),
当时， ,当时，单调增函数；
当时，单调减函数，所以当时，取得最大，最大值为。
所以。当时， ,此时在区间恒成立，所以在区间上单调递增，当时最大，最大值为，所以。
综上，当时，; 当时，
20．（本题满分14分）
椭圆上任一点到两个焦点的距离的和为6，焦距为，分别是椭圆的左右顶点。
ⅰ）求椭圆的标准方程；
ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；
ⅲ）设为椭圆上一动点，为关于轴的对称点，四边形的面积为，设，求函数的最大值。
20．解：（ⅰ由题意得1分。
又，∴，故椭圆的方程为3分。
ⅱ）设，，，则，即，
则4分。即。
为定值8分。
ⅲ）由题意可知，四边形是梯形，则，且9分。
于是10分。
令，解之得或（舍去11分。
当，，函数单调递增12分。
当，，函数单调递减13分。
所以在时取得极大值，也是最大值14分。
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