2024年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学（理工农医类）(解析版)
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1）复数。ab)
(cd) 解析：选b.。
2）“”是“”的。
a）充分而不必要条件b)必要而不充分条件。
(c) 充要条件d)既不充分也不必要条件。
解析：选a.，故“”是“”的充分而不必要条件
3）已知，则=
(a) -6 (b) 2 (c) 3d)6
解析：选d.
故。4）（其中且）的展开式中与的系数相等，则。
a）6b)7
(c) 8d)9
解析：选b。的通项为，故与的系数分别为和，令他们相等，得：，解得7
5）下列区间中，函数，在其上为增函数的是。
a） (b)
cd) 解析：选d。用图像法解决，将的图像关于y轴对称得到，再向右平移两个单位，得到，将得到的图像在x轴下方的部分翻折上来，即得到的图像。由图像，选项中是增函数的显然只有d
6）若的内角所对的边满足，且，则的值为。
ab) c)1d)
解析：选a。 由得，由得，解得。
7）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是。
ab）4cd）5
解析：选c。因为a+b=2，所以。
8）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为ac和bd，则四边形abcd的面积为。abcd）
解析：选b ，由题意，ac为直径，设圆心为f，则，圆的标准方程为，故，由此，易得：，又，所以直线bd的方程为，f到bd的距离为，由此得，所以四边形abcd的面积为。
9）高为的四棱锥s-abcd的底面是边长为1的正方形，点s、a、b、c、d均在半径为1的同一球面上，则底面abcd的中心与顶点s之间的距离为。
ab） c）1d）
解析：选c. 设底面中心为g，球心为o，则易得，于是，用一个与abcd所在平面距离等于的平面去截球，s便为其中一个交点，此平面的中心设为h，则，故，故。
10）设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为。
a）-8b）8
c）12d）13
解析：选d. 设，则方程在区间（0,1）内有两个不同的根等价于，因为，所以，故抛物线开口向上，于是，，令，则由，得，则，所以m至少为2，但，故k至少为5，又，所以m至少为3，又由，所以m至少为4，……依次类推，发现当时，首次满足所有条件，故的最小值为13
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上。
11）在等差数列中，，则。
解析：74.，故。
12）已知单位向量的夹角为，则。
解析：。13）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为
解析： 。硬币投掷6次，有三类情况，①正面次数比反面次数多；②反面次数比正面次数多；③正面次数而后反面次数一样多；，③概率为，①②的概率显然相同，故①的概率为。
14）已知，且，则的值为。
解析：。 由题设条件易得：，故，所以。
15）设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为
解析：。 为使圆的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线相切，设圆的半径为，则圆的方程为，将其与联立得：，令，并由，得：
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程和清算步骤。
16）（本小题满分13分）
设满足，求函数在上的最大值和最小值。
解析： 由得，解得：
因此。当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在上的最大值为。
又因为， 所以在上的最小值为。
17）（本小题满分13分。（ⅰ小问5分（ⅱ）小问8分。）
某市公租房房屋位于三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中：
ⅰ）若有2人申请**区房屋的概率；
ⅱ）申请的房屋在片区的个数的分布列与期望。
解析：（ⅰ所有可能的申请方式有种，恰有2人申请**区**的申请方式有种，从而恰有2人申请**区**的概率为。
（ⅱ）的所有可能值为1,2,3.又，
综上知，的分布列为：
从而有。18）（本小题满分13分。（ⅰ小题6分（ⅱ）小题7分。）
设的导数满足其中常数。
ⅰ）求曲线在点处的切线方程。
ⅱ）设求函数的极值。
解析：（ⅰ因，故，令，得，由已知，解得。
又令，得，由已知，解得。
因此，从而。
又因为，故曲线在点处的切线方程为，即。
（ⅱ）由（ⅰ）知，，从而有，令，解得。
当时，，故在为减函数，当时，，故在为增函数，当时，，故在为减函数，从而函数在处取得极小值，在出取得极大值。
19）本小题满分12分，（ⅰ小问5分，（ⅱ小问7分。
如图，在四面体中，平面⊥,⊥
（ⅰ）若=2， =2，求四边形的体积。
（ⅱ）若二面角--为，求异面直线与所成角的余弦值。
解析：（ⅰ如图所示，设f为ac的中点，由于ad=cd,所以df⊥ac.
故由平面⊥,知df⊥平面，即，。在中，因，ab=2bc,有勾股定理易得。
故四面体abcd的体积。
（ⅱ）如图所示设g、h分别为变cd，bd的中点，则fg//ad,gh//bc,,从而是异面直线与所成角或其补角。
设e为边ab的中点，则ef//bc,由⊥，知⊥，又由（ⅰ）有df⊥平面，故由三垂线定理知⊥,所以为二面角--的平面角，由题设知，设ad=a，则df=adsincad=
在中，从而。
因，故bd=ad=a.从而，在中，,又。
从而在中，因fg=fh，由余弦定理得，故异面直线与所成角的余弦值为。
20）（本小题满分12分，第一问4分，第二问8分）
如图（20），椭圆的中心为原点o，离心率，一条准线的方程为。
ⅰ）求该椭圆的标准方程。
ⅱ）设动点p满足，其中m,n是椭圆上的点。直线om与on的斜率之积为。问：是否存在两个定点，使得为定值。若存在，求的坐标；若不存在，说明理由。
解析：（ⅰ由，解得，故椭圆的标准方程为。
（ⅱ）设，,则由得。
即，因为点m,n在椭圆上，所以。
故。设分别为直线om，on的斜率，由题意知，因此，所以，所以p点是椭圆上的点，设该椭圆的左右焦点为，则由椭圆的定义，为定值，又因，因此两焦点的坐标分别为。
21）（本小题满分12分。（ⅰ小问5分，（ⅱ小问7分）
设实数数列的前n项和满足。
（ⅰ）若成等比数列，求和。
（ⅱ）求证：对有。
解析：（ⅰ由题意，得，由是等比中项知，因此，由，解得，
（ⅱ）证明：有题设条件有，故，且。
从而对有①因，且，要证，由①，只要证。
即证，即，此式明显成立，因此。
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