讀《數學學習心理學》心得。
北市成功高中游經祥老師。
一、前言。數學教學可說是一種藝術，而且也是教師一直在自我調整，自我成長的一門學問。筆者對數學教育可說是門外漢，有幸參與研讀richard skemp所著的《數學學習心理學》，讓筆者從中體會到一些數學教育的大略。
這是一本結合心理學理論和數學教學經驗的好書，在研讀討論過程中，讓筆者不時常有『心有戚戚焉』的感覺，也讓筆者感到『教學』專業之中，還有這麼多細密的內涵存在，進而對數學教學的價值觀以及數學教學的意義，有更進一步的體會。由於本書內容豐富，筆者便以分段式的方式提出心得，並期望在每一段落中，給出高中教材的相關例子，以參照這幾年來筆者自己的教學經驗。換句話說，在本文中，筆者一方面肯定本書所提出的概念，另一方面，則也要強調筆者教學經驗的自我印證。
在此，我很感謝同事杜雲華老師、蘇意雯老師、蘇慧珍老師的集思廣義，以及洪萬生教授的問題討論。
二、數學概念。
我們數學的學習從無到有，須經過多少歲月學習，及許多師長的引導啟發，再加上我們人類的智力行為，各方面因緣的會聚，數學方能達到如今成熟的地步。人類由活動中吸取經驗，由經驗中學習而化為行為；因此，人類的智力行為乃從經驗，再由經驗、事物的分類、歸類之中，而產生心智中的『歸檔』。在這種心智活動過程中，我們由語言經驗，經分類、歸納，進而將之抽象化，而這抽象化後的事物存在心中，便稱之為『概念』。
平常數學中所謂的『定義』，即是將某一數學概念的範圍更加精確地顯示出來。因此，數學中的『定義』，乃是前人心血累積所成的數學概念。
在此，筆者提出高中數學教材中的例子，來對數學概念作一印證。在高一上學期的數系中，有一單元目標是為了幫助學生認識複數系，即c=。在此之前，高一學生的心中對於數的概念只有：
自然數系ｎ，整數系ｚ，有理數系ｑ，與實數系ｒ。因此，要引進複數系時，筆者便從國中時代的一元二次方程式的公式解及判別式開始引起動機，順便讓學生回憶一下往事，亦即，希望喚醒學生以往的數學概念。進而對判別式的正負及實根的個數做個複習。
最後，才進入ｄ＜０時，公式解中的是何物？以此來引進負數平方根的存在性。在解決這些存疑之前，筆者又引進十六世紀義大利數學家卡當（girolamo cardano）所提出的問題：
把10分成兩個數，使它們乘積是40。
當時卡當解出的東西為，他很迷惑到底是不是『數』。但是，他又大膽地『認定』如果這種東西如果可以合符『數的運算規則』做計算，則就是此問題的解。不過，這問題困擾數學家二百多年，到了十八世紀以後，經過尤拉（euler）、高斯（gauss）等偉大數學家的努力探索，吾人才日漸揭開複數系的神祕面紗。
經過如此介紹，在一方面，我們可讓數學史『告訴』學生，數系得之不易；另一方面，也可讓學生了解新數系要『如何』建立。根據數學史，了解一個新數系的建立，對超級數學家而言已經不容易了，更何況是凡夫俗子呢？由此可見，一個數學新概念在學生的心智活動中要明確建立，實在相當困難。
再者，筆者想大略談數學『抽象化』的例子：在大學數中的代數學，其中的群（group），環（ring），體（field）的生成，是由日常生中的自然數系、整數系、有理數系、實數系、複數系中的運算性質，以及其概念中加以聯結，所提煉而成的特性及功用。但是，我們當初很難預測，它們結合後會產生這麼多的特性，而再進一步抽象化後所形成的『近世代數』之美麗光茫。
我們試以下面例子說明，當中的提煉過程。
例如：有理數系中對『加法』、『乘法』有封閉性，這就是群（group）中的二元運算的來源，其中的結合性、反元素、單位元素皆可由0，1的運算性質推廣得到。因此，經過數系內在蘊涵的特性及功用，再進一步抽象化後便得到『群』定義中的充要條件。
最後，再一般化後，便得到更深入的環、體及近世代數的發展，使代數學成為現今數學領域中重要的一個分支。
由此可見，數學概念大都是經由人類生活活動、經驗累積而形成的成果，進而人類將之分類、歸檔，由變因中尋找共通性與不變性，再進一步抽象化，最後在歷史演化的提煉形過程中，將其『不變』的特質再留存歸檔。就如現在的近世代數學中的群、環、體等理論已成熟，數學家便將之視為自然的數學文化而留存歸檔。
三、基模（schema）的特性。
筆者覺得『基模』是數學教育上的一個名詞，它大約說明『心理學中的心智結構情形』。因此，筆者在此只有將基模所具有的一些特性，作以下說明：
基模可以結合長期所學的相關經驗及概念。
基模可以將概念的關係加以分類、融合、轉化。
基模是概念之間的縱橫聯繫網。
基模可以將多種概念結合、分析而發展出難以預測的特性及功用。
筆者在此以『重複組合』ｈ為例，對基模的特性作下列相應的說明。
例：袋中有a，b，c三種球，各有10個，從袋中任取5球，請問有幾種不同的取法？
ａ）對沒有ｈ概念的學生，他可以用以下作法，自然討論可得其解答：
五同：aaaaa，bbbbb，ccccc，共三種。即ｃ種。
四同：aaaab，…，有ｃ·2=6種，或ｐ種。
三同二同：aaabb，…，有ｃ·2=6種，或ｐ種。
三同二異：aaabc，…，有ｃ=3種。
二同二同一異：aabbc，…，有ｃ=3種。
共21種。運用這種做法，至少學生已有ｃ，ｐ的基本概念，以及對５球分類的基本能力。就此ｃ，ｐ及對５球分類的三個基本概念來說，它們個別發揮不出解此題的作用。
但當學生的思考中將此三種基本概念結合與聯繫，則問題將可以自然地解決。這種結合與聯繫，就是基模的特性之一。當然，其中也用到自然數的四則運算，這是人類最根本的基模，就不必特別指出。
以下，筆者亦是如此對待此根本基模。
ｂ）、聰明一點的學生可能會這樣做：
設a類球取x個，b類球取y個，c類球取z個。則，且為整數（即此方程式之非負整數解。）此時可以列表解之：
故共有種。運用這種作法的學生至少要有ｃ、ｐ代數方程式的列式，以及解非負整數等概念，其中能將排列、組合的問題轉化成代數的問題，這須要很強的『反思』能力，即能跳脫問題本身，提昇到更高階層以觀察之，而得到此一作法，這是基模結合力更強的展現。由於基模具有這種將多種概念結合、轉化的特性，難怪引導學生作基模式的學習，是一種很有效的數學教學法。
此法的進行，要提醒學生有『居高臨下』的視野，在跳脫問題層次之外，能以更宏觀的思考方向思考之。這是非常難得，而且是更高一層的反思，值得學之。
ｃ）更聰明的學生，可能會這樣做：
同（ｂ）中的假設，而得求的非負整數解的個數。此時這類學生便將５個球，用５個“１”代表而將之排成一列，再用兩個加號“＋”插進一群“１”之中，所分成的三部分就分別定為的值，而得到，即知。
這種做法是經兩次反思而得，先將排列組合的問題轉化成代數方程式問題，為了要求非負整數解的個數又轉化成重複排列問題，而得到更簡便的求解方法，進而驗證了。
筆者分析上述這三種作法，主要目的是要說明筆者對基模所列的四種特性，從而使自己對基模的特質，有更進一步的理解。因此，筆者覺得基模本身已經是離開日常經驗與反應，同時，基模可以統合已知知識，進而加強對事物的了解，及對事物的批判思考力。因此，基模是產生真正理解事物的一種心智工具，利用它，我們可以獲取意想不到的新知。
然而萬事萬物，有其利亦有其弊。基模亦可能有其缺點，包括建立過程所費的時間較長，基模有喜新厭舊、顧此失彼的特性，更嚴重者，乃是知識『穩固性』建立的無形障礙。在此，筆者提出基模穩固性的無形障礙，有一個很明確的例子，就是在畢氏發現無理數時，當時數學家們視畢氏的無理數論點為異端，不在此重述。
可見，當時數學家們對數學中的數系基模，只穩固在有理數系為其最高階層的數系，至於對於非有理數的存在性，自然會有很大的懷疑。
四、思考層次的分析。
我們先考慮這問題：試解。
解一)、一般學生直觀解之，要先去分母；得到：
解二)、另外有一些學生先欣賞一下題目，分析問題特性，方程式中皆有及其倒數。因此，學生的做法便利用符號代表，即令=，則原方程式變為或2，即＝１或＝２，故得。
由上述的兩種解題方法，筆者試圖分析學生的心智活動結構的大概情形如下：
ａ）、自動化概念。
在學習或處理新概念或問題時，基礎概念或基礎理論必須變得自動化，亦即可以自動浮現心頭。不必重新思考或反映的概念，皆可稱為自動化概念。
在『解一』中的自動化概念，包括分式之去分母，多項式之加減乘及多項式的因式分解。因此，要用“解一”的方法，這些基礎概念須要已經自動化了，如此解此題才方便。
至於在『解二』中的自動化概念，就包括符號代換、分式之去分母、因式分解（十字交义相乘）、解一元二次方程式等。
因此，要運用『解二』之法者，先要有更高層次思考，以簡禦繁而得到=的代換式；之後便是須要自動化的概念。
ｂ）、心智模型的層次。
在上述『解一』中，乃是一般性解題的自然操作活動，也是直覺處理問題的想法。亦即直接由自然的規律（即自動化概念），經過操作、抽象、推廣所蘊育而成的心智模型。這即是skemp書中所提到的第一型理論。
在『解二』中，須要跳脫到問題之外，以居高臨下的觀點先審題目之結構，進而運用數學以簡禦繁的精神，以代表而得到簡單的分式方程式，進而如『解一』之法解之。這種心智模型較『解一』更為高層次。這類思考層次可說是反思，自己跳脫題外，思考問題，時時知道自己在做什麼。
接著，筆者再以大學數學中『拓樸學』（topology）的例子，來說明『思考層次』與『思考眼界』有著高低的不同。
記得在國小、國中、高中時代，圓形和三角形是視為完全不一樣的東西，不同的幾何圖形。當時的思考，只限於外形的表現，比較不注重其無形的內涵。因此，在中學時代的數學，直觀思考，圖形的全等性、相似性乃是主要訴求的重點。
但是到了大學數學系中的拓樸學，已經忘記了點與點之間的距離，也跳脫了有形物體的局限。故在拓樸學家的眼裡，圓、三角形與皆正方形視為同一類圖形；甚至圓與實心的輪胎也被視為同一類的幾何圖形，而一直線與一點也被視為同樣的幾何圖形。這些觀點，皆已跳脫有形可想像的範圍，已經走到第二型的更高層的思考，難怪skemp主張數學學習理論皆是屬於第二型的高層反思。
其實，數學高階思考大都屬於二階反思。因此，我們可以理解到，經由數學層層抽象化過濾的高階概念，雖然已經遠離現實世界，走向無形抽象空間之中，但是，它卻反而引領我們進入宇宙的本質，一旦賦予科學的內涵，就可以得到實際世界許多令人驚異的結論了。
五、代數與幾何的結合。
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