1.用谓词和量词将下列语句符号化：
1)没有不犯错误的人。
2)并非一切推理都能用计算机完成。
3)每个计算机系的学生都学离散数学。
4)任何自然数都有惟一的一个后继数。
5)对每一个x和y，有一个z，使x＋y＝z。
6)对任何整数x和y，若xy＝0，则x＝0或y＝0。
7)至多存在一个偶素数。
8)不存在既是奇数又是偶数的自然数。
9)有些有理数是实数但不是整数。
10)对于每一个实数x，存在一个更大的实数y。
解 (1)设f(x)表示“x犯错误”，n(x)表示“x为人”，则此语句符号化为：x(n(x)∧f(x))。
2)设f(x)表示“x是推理”，m(x)表示“x是计算机”， h(x，y)表示“x能由y完成”，则此语句符号化为：x(f(x) y m(y)∧h(x，y))。
3)设c(x)表示“x是计算机系的学生”，d(x)表示“x学习离散数学”，则此语句符号化为：x(c(x) d(x))。
4)因原语句与“一切自然数x，都有一个自然数y，使得y是x的后继数；并且对任意自然数x，当y和z都是x的后继时，则有y＝z”的意思相同，所以原语句可符号化为：
x(n(x) y(n(y)∧m(x，y)))xyz(n(x)∧n(y)∧n(z)(m(x，y)∧m(x，z)( y＝z)))
其中n(x)表示x是自然数，m(x，y)表示y是x的后继数。
5)设s(x，y，z)表示“x＋y＝z”，则此语句符号化为：xyz s(x，y，z)。
6)设z(x)表示“x是整数”，s(x，y)表示“xy＝0”，t(x，y)表示“x＝y”，则此语句符号化为：xy(z(x)∧z(y)(s(x，y) t(x，0)∨t(y，0)))
7)设e(x)表示“x是偶数”，p(x)表示“x是素数”，s(x，y)表示“x＝y”，则此语句符号化为：x(e(x)∧p(x)y(e(y)∧p(y) s(x，y)))
8)设e(x)表示“x是偶数”，o(x)表示“x是奇数”，n(x)表示“x是自然数”，则此语句符号化为：x(e(x)∧o(x)∧n(x))。
9)设r(x)表示“x是实数”，q(x)表示“x是有理数”，z(x)表示“x是整数”，则此语句符号化为：x(r(x)∧q(x)∧z(x))。
10)设r(x)表示“x是实数”，q(x，y)表示“y大于x”，则此语句符号化为：x(r(x)y(r(y)∧q(x，y)))
2.设个体域是全体整数集z，令p(x，y，z)：xy＝z；e(x，y)：x＝y；g(x，y)：x＞y。将下列命题符号化：
1)若y＝1，则对任何x都有xy＝x。
2)若xy≠0，则x≠0和y≠0。
3)若xy＝0，则x＝0或y＝0。
4)若x≤y和x≥y，则x＝y。
解 (1)符号化为：y(e(1，y)x p(x，y，x))。
2)符号化为：xy(p(x，y，0)(e(x，0)∧e(0，y)))
3)符号化为：xy(p(x，y，0)(e(x，0)∧e(0，y)))
4)符号化为：xy(((e(x，y)∨g(y，x))∧e(x，y)∨g(x，y)))e(x，y))。
3.设个体域为自然数集n，令p(x)：x是素数；e(x)：x是偶数；o(x)：x是奇数；d(x，y)：x整除y。将下列各式译成自然语言：
1)x(e(x)∧d(x，6))。
2)x(o(x)y(p(x)d(x，y)))
3)x(e(x)d(2，x))。
4)x(e(x)y(d(x，y)e(y)))
解 (1)存在x，x是偶数，且x整除6。
2)对任意x，如果x是奇数，则对任意y，若y是素数，则x不整除y。
3)对任意x，如果x不是偶数，则2不整除x。
4)对任意x，如果x是偶数，则对任意y，若x整除y，则y是偶数。
4.指出下列公式中量词的辖域，并指出个体变元是约束变元还是自由变元：
1)x(p(x)∧xq(x))∨x(p(x)q(x))。
2)x(p(x，y)∧yq(y))∧xr(x)q(x))。
3)x(p(x，y)∨q(z))∧y(r(x，y) zq(z))。
解 (1)在公式x(p(x)∧xq(x))∨x(p(x)q(x))中，第一次出现的x的辖域为p(x)∧xq(x)，x的辖域为q(x)，而第二次出现的x的辖域为p(x)q(x)。公式中只出现了变元x，所有x都是约束变元。
2)在公式x(p(x，y)∧yq(y))∧xr(x)q(x))中，第一次出现的x的辖域为p(x，y)∧yq(y)，而第二次出现的x的辖域为r(x)，y的辖域为q(y)。p(x，y)中的y是自由变元，x是约束变元。q(y)中的y是约束变元。
r(x)中的x是约束变元，而q(x)中的x是自由变元。
3)在公式x(p(x，y)∨q(z))∧y(r(x，y) zq(z))，x的辖域为p(x，y)∨q(z)，y的辖域为r(x，y)zq(z)，z的辖域为q(z)。公式中第一次出现的x是约束变元，第二次出现的x是自由变元，第一次出现的y和z都是自由变元，而第二次出现的y和z都是约束变元。
5.对公式x(p(x，y)∧yq(y)∧m(x，y))∧xr(x)q(x))应用换名规则，使每个个体变元在公式中只以一种形式出现(即约束出现或自由出现)。
解 x(p(x，y)∧yq(y)∧m(x，y))∧xr(x)q(x))
u(p(u，y)∧yq(y)∧m(u，y))∧xr(x)q(x))
u(p(u，y)∧vq(v)∧m(u，y))∧xr(x)q(x))
u(p(u，y)∧vq(v)∧m(u，y))∧wr(w)q(x))
6.对公式y(p(x，y)(zq(x，y)∧r(x，y，z)))xzs(x，y，z)应用换名或代入规则，使每个个体变元在公式中只以一种形式出现。
解 y(p(x，y)(zq(x，y)∧r(x，y，z)))xzs(x，y，z)
y(p(u，y)(zq(u，y)∧r(u，y，z)))xzs(x，y，z)
y(p(u，y)(zq(u，y)∧r(u，y，z)))xzs(x，v，z)
y(p(u，y)(zq(u，y)∧r(u，y，z)))xws(x，v，w)
7.给定解释i如下：
1)个体域为实数集r；
2)元素a＝0；
3)函数f(x，y)＝x－y；
4)f(x，y)：x＜y。
在解释i下，求下列各式的真值？
1)xf(f(a，x)，a)。
2)xy(f(f(x，y)，x))。
3)xyz(f(x，y)f(f(x，z)，f(y，z)))
4)xyf(x，f(f(x，y)，y))。
解 (1)xf(f(a，x)，a)x(f(a，x)＜a)
x(a－x＜a)
x(0－x＜0)
x(0＜x)
f2)xy(f(f(x，y)，x))xy((f(x，y)＜x))
xy((x－y＜x))
xy((0＜y))
xy(y≤0)
f3)xyz(f(x，y)f(f(x，z)，f(y，z)))xyz((x＜y)(f(x，z)＜f(y，z)))
xyz((x＜y)(x－z＜y－z))
xyz((x＜y)(x＜y))
t4)xyf(x，f(f(x，y)，y))xy(x＜f(f(x，y)，y))
xy(x＜(f(x，y)－y))
xy(x＜(x－y－y))
xy(x＜x－2y)
t8.判断下列公式的类型：
1)xp(x)xp(x)。
2)xa(x)x(a(x))。
3)x(p(x)∧q(x))(xp(x)q(x))。
4)xy(f(x，y)f(y，x))。
解 (1)设论域为。
若p(1)＝p(2)＝t，则。
xp(x)xp(x)( p(1)∨p(2))(p(1)∧p(2))
t∨t)(t∧t)ftt
若p(1)＝p(2)＝f，则。
xp(x)xp(x)( p(1)∨p(2))(p(1)∧p(2))
f∨f)(f∧f)tff
所以，xp(x)xp(x)为可满足式。
2)xa(x)x(a(x))x(a(x))x(a(x))t，所以xa(x)x(a(x))为永真式。
3)设论域为。
若p(1)＝p(2)＝q(1)＝q(2)＝f，则。
x(p(x)∧q(x))(xp(x)q(x))
(p(1)∧q(1))∨p(2)∧q(2)))p(1)∨p(2))q(x))
(f∧f)∨(f∧f))(f∨f)q(x))
t若p(1)＝q(1)＝q(2)＝t，p(2)＝f，则。
x(p(x)∧q(x))(xp(x)q(x))
(p(1)∧q(1))∨p(2)∧q(2)))p(1)∨p(2))q(x))
(t∧t)∨(f∧t))(t∨f)q(x))
t(tf)f
所以，x(p(x)∧q(x))(xp(x)q(x))为可满足式。
4)设论域为实数集r。
若f(x，y)表示“x＝y”，则xy(f(x，y)f(y，x))xy((x＝y)( y＝x))t。
若f(x，y)表示“x＞y”，则xy(f(x，y)f(y，x))xy((x＞y)( y＞x))f。
所以，xy(f(x，y)f(y，x)) 为可满足式。
9.设个体域为a＝，消去公式xp(x)∧xq(x)中的量词。
解 xp(x)∧xq(x)(p(a)∧p(b)∧p(c))∧q(a)∨q(b)∨q(c))。
10.给定解释i如下：
1)个体域为d＝；
2)f(x)：x≤3，g(x)：x＞5，r(x)：x≤7。
在解释i下，求下列各式的真值：
1)x(f(x)∧g(x))。
2)x(r(x)f(x))∨g(5)。
3)x(f(x)∨g(x))。
解 (1)x(f(x)∧g(x))(f(－2)∧g(－2))∧f(3)∧g(3))∧f(6)∧g(6))
t∧f)∧(t∧f)∧(f∧t)
f2)x(r(x)f(x))∨g(5)((r(－2)f(－2))∧r(3)f(3))∧r(6)f(6)))g(5)
(tt)∧(tt)∧(tf))∨f
t∧t∧f)∨f
f3)x(f(x)∨g(x))(f(－2)∨g(－2))∨f(3)∨g(3))∨f(6)∨g(6))
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