第2章习题答案

发布 2023-05-18 19:58:28 阅读 5033

1.用谓词和量词将下列语句符号化:

1)没有不犯错误的人。

2)并非一切推理都能用计算机完成。

3)每个计算机系的学生都学离散数学。

4)任何自然数都有惟一的一个后继数。

5)对每一个x和y,有一个z,使x+y=z。

6)对任何整数x和y,若xy=0,则x=0或y=0。

7)至多存在一个偶素数。

8)不存在既是奇数又是偶数的自然数。

9)有些有理数是实数但不是整数。

10)对于每一个实数x,存在一个更大的实数y。

解 (1)设f(x)表示“x犯错误”,n(x)表示“x为人”,则此语句符号化为:x(n(x)∧f(x))。

2)设f(x)表示“x是推理”,m(x)表示“x是计算机”, h(x,y)表示“x能由y完成”,则此语句符号化为:x(f(x) y m(y)∧h(x,y))。

3)设c(x)表示“x是计算机系的学生”,d(x)表示“x学习离散数学”,则此语句符号化为:x(c(x) d(x))。

4)因原语句与“一切自然数x,都有一个自然数y,使得y是x的后继数;并且对任意自然数x,当y和z都是x的后继时,则有y=z”的意思相同,所以原语句可符号化为:

x(n(x) y(n(y)∧m(x,y)))xyz(n(x)∧n(y)∧n(z)(m(x,y)∧m(x,z)( y=z)))

其中n(x)表示x是自然数,m(x,y)表示y是x的后继数。

5)设s(x,y,z)表示“x+y=z”,则此语句符号化为:xyz s(x,y,z)。

6)设z(x)表示“x是整数”,s(x,y)表示“xy=0”,t(x,y)表示“x=y”,则此语句符号化为:xy(z(x)∧z(y)(s(x,y) t(x,0)∨t(y,0)))

7)设e(x)表示“x是偶数”,p(x)表示“x是素数”,s(x,y)表示“x=y”,则此语句符号化为:x(e(x)∧p(x)y(e(y)∧p(y) s(x,y)))

8)设e(x)表示“x是偶数”,o(x)表示“x是奇数”,n(x)表示“x是自然数”,则此语句符号化为:x(e(x)∧o(x)∧n(x))。

9)设r(x)表示“x是实数”,q(x)表示“x是有理数”,z(x)表示“x是整数”,则此语句符号化为:x(r(x)∧q(x)∧z(x))。

10)设r(x)表示“x是实数”,q(x,y)表示“y大于x”,则此语句符号化为:x(r(x)y(r(y)∧q(x,y)))

2.设个体域是全体整数集z,令p(x,y,z):xy=z;e(x,y):x=y;g(x,y):x>y。将下列命题符号化:

1)若y=1,则对任何x都有xy=x。

2)若xy≠0,则x≠0和y≠0。

3)若xy=0,则x=0或y=0。

4)若x≤y和x≥y,则x=y。

解 (1)符号化为:y(e(1,y)x p(x,y,x))。

2)符号化为:xy(p(x,y,0)(e(x,0)∧e(0,y)))

3)符号化为:xy(p(x,y,0)(e(x,0)∧e(0,y)))

4)符号化为:xy(((e(x,y)∨g(y,x))∧e(x,y)∨g(x,y)))e(x,y))。

3.设个体域为自然数集n,令p(x):x是素数;e(x):x是偶数;o(x):x是奇数;d(x,y):x整除y。将下列各式译成自然语言:

1)x(e(x)∧d(x,6))。

2)x(o(x)y(p(x)d(x,y)))

3)x(e(x)d(2,x))。

4)x(e(x)y(d(x,y)e(y)))

解 (1)存在x,x是偶数,且x整除6。

2)对任意x,如果x是奇数,则对任意y,若y是素数,则x不整除y。

3)对任意x,如果x不是偶数,则2不整除x。

4)对任意x,如果x是偶数,则对任意y,若x整除y,则y是偶数。

4.指出下列公式中量词的辖域,并指出个体变元是约束变元还是自由变元:

1)x(p(x)∧xq(x))∨x(p(x)q(x))。

2)x(p(x,y)∧yq(y))∧xr(x)q(x))。

3)x(p(x,y)∨q(z))∧y(r(x,y) zq(z))。

解 (1)在公式x(p(x)∧xq(x))∨x(p(x)q(x))中,第一次出现的x的辖域为p(x)∧xq(x),x的辖域为q(x),而第二次出现的x的辖域为p(x)q(x)。公式中只出现了变元x,所有x都是约束变元。

2)在公式x(p(x,y)∧yq(y))∧xr(x)q(x))中,第一次出现的x的辖域为p(x,y)∧yq(y),而第二次出现的x的辖域为r(x),y的辖域为q(y)。p(x,y)中的y是自由变元,x是约束变元。q(y)中的y是约束变元。

r(x)中的x是约束变元,而q(x)中的x是自由变元。

3)在公式x(p(x,y)∨q(z))∧y(r(x,y) zq(z)),x的辖域为p(x,y)∨q(z),y的辖域为r(x,y)zq(z),z的辖域为q(z)。公式中第一次出现的x是约束变元,第二次出现的x是自由变元,第一次出现的y和z都是自由变元,而第二次出现的y和z都是约束变元。

5.对公式x(p(x,y)∧yq(y)∧m(x,y))∧xr(x)q(x))应用换名规则,使每个个体变元在公式中只以一种形式出现(即约束出现或自由出现)。

解 x(p(x,y)∧yq(y)∧m(x,y))∧xr(x)q(x))

u(p(u,y)∧yq(y)∧m(u,y))∧xr(x)q(x))

u(p(u,y)∧vq(v)∧m(u,y))∧xr(x)q(x))

u(p(u,y)∧vq(v)∧m(u,y))∧wr(w)q(x))

6.对公式y(p(x,y)(zq(x,y)∧r(x,y,z)))xzs(x,y,z)应用换名或代入规则,使每个个体变元在公式中只以一种形式出现。

解 y(p(x,y)(zq(x,y)∧r(x,y,z)))xzs(x,y,z)

y(p(u,y)(zq(u,y)∧r(u,y,z)))xzs(x,y,z)

y(p(u,y)(zq(u,y)∧r(u,y,z)))xzs(x,v,z)

y(p(u,y)(zq(u,y)∧r(u,y,z)))xws(x,v,w)

7.给定解释i如下:

1)个体域为实数集r;

2)元素a=0;

3)函数f(x,y)=x-y;

4)f(x,y):x<y。

在解释i下,求下列各式的真值?

1)xf(f(a,x),a)。

2)xy(f(f(x,y),x))。

3)xyz(f(x,y)f(f(x,z),f(y,z)))

4)xyf(x,f(f(x,y),y))。

解 (1)xf(f(a,x),a)x(f(a,x)<a)

x(a-x<a)

x(0-x<0)

x(0<x)

f2)xy(f(f(x,y),x))xy((f(x,y)<x))

xy((x-y<x))

xy((0<y))

xy(y≤0)

f3)xyz(f(x,y)f(f(x,z),f(y,z)))xyz((x<y)(f(x,z)<f(y,z)))

xyz((x<y)(x-z<y-z))

xyz((x<y)(x<y))

t4)xyf(x,f(f(x,y),y))xy(x<f(f(x,y),y))

xy(x<(f(x,y)-y))

xy(x<(x-y-y))

xy(x<x-2y)

t8.判断下列公式的类型:

1)xp(x)xp(x)。

2)xa(x)x(a(x))。

3)x(p(x)∧q(x))(xp(x)q(x))。

4)xy(f(x,y)f(y,x))。

解 (1)设论域为。

若p(1)=p(2)=t,则。

xp(x)xp(x)( p(1)∨p(2))(p(1)∧p(2))

t∨t)(t∧t)ftt

若p(1)=p(2)=f,则。

xp(x)xp(x)( p(1)∨p(2))(p(1)∧p(2))

f∨f)(f∧f)tff

所以,xp(x)xp(x)为可满足式。

2)xa(x)x(a(x))x(a(x))x(a(x))t,所以xa(x)x(a(x))为永真式。

3)设论域为。

若p(1)=p(2)=q(1)=q(2)=f,则。

x(p(x)∧q(x))(xp(x)q(x))

(p(1)∧q(1))∨p(2)∧q(2)))p(1)∨p(2))q(x))

(f∧f)∨(f∧f))(f∨f)q(x))

t若p(1)=q(1)=q(2)=t,p(2)=f,则。

x(p(x)∧q(x))(xp(x)q(x))

(p(1)∧q(1))∨p(2)∧q(2)))p(1)∨p(2))q(x))

(t∧t)∨(f∧t))(t∨f)q(x))

t(tf)f

所以,x(p(x)∧q(x))(xp(x)q(x))为可满足式。

4)设论域为实数集r。

若f(x,y)表示“x=y”,则xy(f(x,y)f(y,x))xy((x=y)( y=x))t。

若f(x,y)表示“x>y”,则xy(f(x,y)f(y,x))xy((x>y)( y>x))f。

所以,xy(f(x,y)f(y,x)) 为可满足式。

9.设个体域为a=,消去公式xp(x)∧xq(x)中的量词。

解 xp(x)∧xq(x)(p(a)∧p(b)∧p(c))∧q(a)∨q(b)∨q(c))。

10.给定解释i如下:

1)个体域为d=;

2)f(x):x≤3,g(x):x>5,r(x):x≤7。

在解释i下,求下列各式的真值:

1)x(f(x)∧g(x))。

2)x(r(x)f(x))∨g(5)。

3)x(f(x)∨g(x))。

解 (1)x(f(x)∧g(x))(f(-2)∧g(-2))∧f(3)∧g(3))∧f(6)∧g(6))

t∧f)∧(t∧f)∧(f∧t)

f2)x(r(x)f(x))∨g(5)((r(-2)f(-2))∧r(3)f(3))∧r(6)f(6)))g(5)

(tt)∧(tt)∧(tf))∨f

t∧t∧f)∨f

f3)x(f(x)∨g(x))(f(-2)∨g(-2))∨f(3)∨g(3))∨f(6)∨g(6))

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