本本讲座主要目的：
通过对一些简单的数学建模过程的分析，使队员了解数学建模的基本过程，掌握数学建模的基本知识和一些简单常用的数学基础知识。
近期主要任务：
1 熟悉计算机。
2 学会查阅资料，积累相应的数学与数学建模知识。
沙子的开采。
一问题的背景。
沙子是最重要的建筑材料之一，并一直有稳定的市场。沙子通常在海湾边形成，这里的气候及海浪的撞击使岩石裂成碎块，这些碎块逐渐变小就形成了沙子，同时也形成了海滩。随着时间的推移，海平面下降，在内陆地就形成了一个大的沙矿床。
这些沙子被其他物质覆盖着，在足够压力和热量作用下形成沙岩。这层覆盖物叫表土，非常薄，使沙岩能保持松散的结构形式。为建筑业生产资料的公司就是要对这种类型的沙矿进行开采。
由于表土的松散结构，开采沙子不能采用地下开采的方式，而只能露天开采。这就必须先将表土移至别处，然后才能将沙子挖出。因而这项工程的一个最大的投资是将表土移走的费用。
为了确定某个开采地将来可能获得的利润，估计现存表土及沙子的数量是必需的。常用的方法是在待开采地区画一些网络，在网络交点处用一根空心管子垂直地钻入地下，利用进入管内表土和沙子的数量，测出该点处沙子和表土的厚度。再利用所有标本点（网络点）处表土和沙子的厚度及该地区的面积，可估计出表土及所蕴藏沙子的体积。
1. 开采地的地图。
2. 探查的结果。
除开图中的沼泽地，在其它能钻进去的网点都可取到样本。在这些网点处可得到三个数据（见表1），最上面一项是沙层底部高度。所有网点处的数据对应点在地图中的位置用表1表示如下：
二、问题提出。
i)蓝色隧道公司（专门生产建筑材料，沙子一直是需求量大且有稳定市场的产品。一个地质队调查了中部地区的一格庄院，送给公司关于该庄园内某处有一个大沙矿的详细报告，庄园主也提交了一份索要报酬的清单。 根据这些资料和公司资产的详细资料，决定是否该对这项工程投资。
ii)按解决问题的进程将问题分两布提出：
(a)蓝色隧道公司（为建筑业生产原材料，沙子是需求量最大但有稳定市场的产品。一个地质队探查了边境地区某庄园，发现该庄园内有一个大沙矿，并给公司提供了一个详细报告。只要该矿含沙量超过400万吨，并且表土面积小于沙子体积的19%，则开采一定获利。
根据这些资料，判定是否应该对这项工程投资。
b) 要求对该工程做一个经济分析。
公司的工程员已经研究了报告中的等高线图，并且计算出每月可能开采1万吨沙子，迹象表明，若每月挖10万吨沙子，则承包人就可以。
接受合同。1.一些有关的数据。
表土的平均密度：1350kg/m3
沙子的平均密度：1620kg/m3
沙子的最大开采率：100000吨/月。
2. 庄园主的索赔清单。
i)补偿对现有农作物及房屋的损坏，一次性付200000镑。
ii)开采一吨沙子付地区使用费0.5472镑。
(iii)倾倒表土要占用土地，每倾倒一吨表土付0.121镑。
(iv)沙子开采完后，该地区的修建和美化付1000000镑。
3. 公司开采沙子的费用。
(i)将表土挖出并运到附近每吨需0.3672镑。
(ii)开采一吨沙子并将其运到市场需0.4592镑。
4. 公司所得利润。
沙子的销售单价：2.96镑/吨。
三必要的假设。
1 沙表，地表，底表平滑，无陡峭。
2 开采过程中无水土流失情况。
3 开采过程中币值稳定。
4 开采过程中不考虑其它意外情况的发生。
5 月开采10万吨沙子不会影响沙子市场的**。
6 不考虑沼泽地沙子的开采；
考虑沼泽地沙子的开采，且成本与其它地方一样；
考虑沼泽地沙子的开采，适当增加成本。
7 沙子的质量一样好；
接近表土，底土的沙子质量稍差。
四问题的分析。
答案分二步给出：
1）先计算表土和沙子的的体积从而可得重量。
解第一步主要利用表一中给出的数据，由于区域边缘地区有沼泽地，在这些网络点处不可能取到数据，可利用外推法求出这些点处相应数据。如果这对学生太难，可将沼泽地从地图上去掉，直接给出表二。若想在问题中应用内推法，则可在该地区中部加入一片沼泽地，而将相应的数据从表一中抹掉。
由于数据是按沙子位于一个矩形区域的正下方面给出的，假如模型中需要引入更复杂的数值技术，则可将沙子淤积的区域设计得更复杂一些。
ii)求出总指出和总收入，从而得到工程的利润值。
这部分要利用现金贴现方面的知识。
给予该地区可能的卡车运货能力，已经提出每月10万吨沙子的开采率，可将这个量作为未知，从而求出这个数字。
1 计算沙子，表土的体积。
2 求总支出，总收入，分析利润。
五问题的求解。
1 数据的补充。
线性插值。抛物线插值。
二维线性平面 ：
反平方加权插值外推。
2 体积计算。
（3）复化梯形公式 8.696，4.690
（4）复化辛浦生公式 8.732，4.687
3 利润分析。
为了完善，我们给出三个面的等高线图。（见图3、图4、图5）。这些可帮助公司制定开采沙子的计划。
地表面的等高线图。
表土和沙子界面的等高线图。
沙子底面的等高线图。
3利润分析
首先算出表土和沙子的重量，采用由辛普森公式算出的体积近似值，再由。
重量=体积*密度。
有表土重量=（吨）
沙子质量=（吨）
由于沙子按每月10万吨的比率卖出，则工程可持续个月。我们必须先确定表土的移走方案，可以采取一次将表土全部移走，然后再开采沙子的方法，显然这是一个昂贵的措施，但如果不移走沙子上的表土，开采沙子也是不可能的。因此，按照在开采某一数量沙子之前先移走同样数量的表土的方式计算近乎比较合理。
每月开采10万吨，按比例应移走。
吨表土。由于开采沙子的合同是按月付酬，我们可设所有开支也按月付出，则月支出有：
地区使用费：
磅）堆积表土占地费：
磅）挖掘并运送表土费：
磅）开采并运送沙子费：
磅）总数=108216.66（磅）
卖沙的月收入为：
磅）因此，月利润为：
磅）现在可将每月的利润加起来得到工程的总利润，但由于月利润必须先经过贴现，求出其纯现值。因此，如果从工程开始算起的地n个月有p磅利润，则其纯现值为：
其中i是月贴现率。因此经过贴现后的月利润之和应为：
利用等比级数公式可得。
当p=187783.34，i=0.01时，渴求的贴现后利润总和为9874746.50磅。
从这个数中，还应减去农作物和房屋赔偿费20万磅以及工程结束后的地区建设美化费100万磅，由于地区建设美化费直到工程结束才付，经贴现应为。
磅）因此总利润为：
9874764.50—200000—469447.00=9205299.50 （磅）
现在必须确定是否是一个大的利润，我们不能仅仅将它与显而易见的基本建设费用比较。有三个众所周知的衡量尺度，一是利润必须是正数，第二在某种意义上，初始支出应小。第三个是利润必须达到营业额的某个百分数。
这里月营业额是296000磅，其利润是这个数的60%，所以我们可以说，这项工程是可投资的。
五、问题的改进。
1、 由于位于表土和沙子交界部分的沙子质量较差，所以必须还打点折扣，假说这层沙子厚度为15cm，则其体积为：
若设这层沙子的密度为1620，则其重量为：
因而需从吨好沙中减去吨次沙。这样月支出要做相应调整。对这些次品沙，有两种可能，一是按半价**，再就是作为表土抛弃掉。又因这两种情况，月收入要有所改变。
2、从等高线图中可看到，在区域的右下方有一部分沙层非常薄。值得研究一下，这部分傻子是否应该全部开采。估计运走这部分表土的开支远超过期望从沙子上得到的收入。
注：沼泽地适当增加成本。
交会处附近沙子的处理。
开采中表土移走方案。
沙子薄处是否开采。
初期开采方案。
推广，优缺点，经济效益，社会效益。
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