作业。1.1 非空集合g上定义了一个二元运算（被称为乘法），试证明如果满足如下条件，那么g构成群：
1) 乘法满足结合律；
2) 对任意的，方程和都在中有解。
1.2证明：设h 是群g 的非空子集，那么若对有，则h 是g 的子群。
1.3推导四阶群的非循环结构并写出群乘表。设群元为 (为单位元)。
1.4证明指数为2的子群一定是不变子群。
1.5设是群中的一个类，证明对有。
1.6证明有限群群元的阶必能整除群的阶。
1.7证明除单位元外所有元都是二阶元的群是abel群。
1.8证明存在八阶循环群到四阶循环群的同态。
1.9证明两个群的直积仍然是群。
1.10一个群与其子群是否总是同态的？如是则证明之，如否则给出反例。
2.1若是群 g 的表示，问下列集合。
是否仍是群g 的表示？为什么？
2.2对非奇异的矩阵表示 d(g)，证明，其中 e 为单位元， i 为单位矩阵。
2.3证明群g中属于同一类的各元素的表示矩阵之和，必与群g的任意元素的表示矩阵对易。
2.4 证明abel群的所有不可约表示都是一维的。
2.5 证明： (1) 若有非单位矩阵常数倍的非零矩阵与群的某一表示的所有矩阵对易，那么该表示必是可约表示；(2) 若表示完全可约，则一定存在非单位矩阵常数倍的非零矩阵与所有表示矩阵对易。
2.6 有限群g是否存在n维的恒等表示，即？ 如果有，这个表示是否满足表示矩阵元的正交性定理？
2.7 设d(g)是群g的一个表示，则也是群g的表示，试证明：若d可约则也可约，若d不可约则也不可约。
2.8 证明函数变换算符为幺正算符，其中r是对三维坐标的正交变换。[提示：幺正算符是利用平方可积函数的内积来定义的]
2.9 证明三维空间的旋转算符在以为基时的表示矩阵就是旋转矩阵本身，即。[提示：为正交矩阵。记则基函数实为]
2.10已知 c3v群对二维坐标的变换矩阵如下。
求该群在基下的二维表示。判断该表示是否可约，是否幺正，要写清判断过程。
2.11上一题中的变换矩阵本身也是 c3v群的一个不可约幺正表示，构造投影算符并从函数中投影出该表示的基。
2.12已知群（群乘表见右侧）的一个子群， 且已知子群 h 的一个不可约表示为，求在中的诱导表示。
2.13利用群的特征标标表，将三个二维表示的直积约化为不可约表示的直和。
2.14已知点群有五个不等价不可约幺正表示，分别为：
求直积表示与其约化后的等价表示间的 cg 系数。并将最后结果列表给出。
3.1 找出所有循环结构，哪些是偶置换？哪些是奇置换？并计算所有类中元素个数。
3.2 证明的任何置换都可以写成若干形式的对换的乘积，并将置换 (25) 写成该种形式。
3.3给出的所有不可约表示的 young 图以及每个 young 图所对应的标准 young 盘，并计算各不可约表示的维数。
3.4利用标准 young 盘、维数公式、和钩形规则三种方法计算的不可约表示的维数。
3.5用图形方法计算特征标和，前者分别用 1223344，1123344，1122344和1122334 填充计算，后者分别用 1223333，1122223，和 1111223填充计算。
3.6求在表示 [3,1] 中的 young 基，并计算置换 (34) 和 (124) 的表示矩阵。[提示：
可定义一个算符 ，其中为 1,2,3 构成的所有置换，否则计算过程比较冗长]
3.7用littlewood-richardson规则求外积 [2,1] [3,2] 的分解，计算该外积的维数，并用钩形规则计算所有分解得到的不可约表示的维数并验证其和为外积维数。(注意：
不可用外积的交换性实际计算 [3,2] [2,1] 的分解)
3.8利用分支律求的不可约表示在其子群中的分导表示的约化，并利用钩形规则验证约化前后的维数。
4.1 设一个群g有一个指数为2的子群h，试证明：
1) 若在h的陪集中存在一个群元与h中的所有元素对易，那么子群h的分类和其在群g中的分类是一样的；（例如）
2) 反之，如果h的陪集中不存在与h中所有元素都对易的群元的话，那么h的分类方式与其在g中的分类方式必然不会完全相同。（例如）
提示：所谓分类方式相同是指，在h中如果两个元素共轭的话，则它们在g中也共轭，同时h中不共轭的两个元素在g中也不共轭)
4.2 找出点群o的所有子群，并判明哪些是不变子群。
4.3 按如图所示取向，以 为基计算t 群的表示，并判断该表示是否可约。(注意转轴的方向）
4.4求点群在基 下的表示矩阵，这是个可约表示还是不可约表示？如果可约将其约化。
4.5设是波矢 k 的波矢群，是与 k 处于同一波矢星中的波矢，试证明的波矢群与同构。
4.6对于简单空间群， 设某的波矢点群的一个维不可约表示的基为，试证明，如下构造的个“布洛赫和”
构成其波矢群的不可约表示的基。
4.7二维点群与长方形格子可以组合出三种二维空间群，其中一个是简单空间群 p2mm, 另外两个是非简单空间群 p2mg 和 p2gg (g代表沿对角线方向一半格矢的平移)，试写出这三个二维空间群的结构（按平移群进行陪集展开），并画出每个群中各群元对右图小三角变换后的结果，要求原胞（即红框）内及四个角周围要画对。
注：无穷小算符请按我讲的定义去算！
5.1 证明su(1,1) 群（保持不变的变换）的无穷小群元可以写为的形式，其中；然后据此计算该群的无穷小生成元及其对易关系。
5.2 证明幺正表示的无穷小生成元是反厄米的()
5.3对一维线性非齐次变换，求无穷小算符及相应对易关系。
5.4 so(2,1)群是所有保持不变的矩阵构成的群，证明其无穷小群元可以写为的形式，其中；并据此求该群的无穷小生成元及无穷小算符以及无穷小算符间的对易关系。
5.5证明所有形如的矩阵构成群，其中是任意实数。该群称为 heisenberg 群，求其无穷小算符及其对易关系。
5.6设是角动量算符的本征态，以为基求绕轴转动的 so(2) 群的一维不可约表示 (已取)。
注： 以我讲的形式为准。
6.1 (1) 利用两个转动操作以及转动操作的组合求绕方向的轴逆时针转动角的转动矩阵；(2) 计算欧拉角为 (的转动矩阵并思考与 (1) 中结果的区别。
注： 6.2 求旋转矩阵的三个欧拉角。
6.3分别对so(3)的不可约表示在其子群和中的分导表示进行约化。
o, t的特征标表参见书后附录， t的特征标表中两个一维不可约表示都标。
记为e，这里应加以区分，可分别记为e1和e2）
6.4 试求su(2) 群以欧拉角为参数时不可约表示的特征标和（提示：的特征标只由的实部决定）
6.5 已知角动量算符满足，以及。
绕方向旋转角的旋转算符可写为，试求以欧拉角为参数的旋转在以为基时的表示矩阵。（提示：先求再求）
7.1 若，试证明， 其中是动量算符，并进一步证明动能算符与对易。 [提示：把看成的函数，因与有关 ]
7.2 考虑一个具有点群 o 对称性的系统，假设有一微扰，使其对称性下降为具有点群 (1) t, (2) d2, (3) c4的对称性，问属于点群 o 的不可约表示， 及的能级会如何劈裂？(注：
标e的两个一维不可约表示要加以区分)
7.3 找出对称群的电偶极与磁偶极跃迁的选择定则 (特征标表如下)。
7.4 晶体中一个氢原子位于对称性群位置上，电子处于本征态，电偶极矩在x方向上，问可以存在到哪个态上的电偶极跃迁？（特征标表如下）
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邮件主题 作业n 以附件形式 文件名 学号 姓名 主题名格式 jpg格式 大小 长宽边不超过1024 768 大小 不超过500k 发送邮箱 截止时间 本次课后隔周周一中午12 00之前两周交一次作业。第一次作业 最好的 发过去2 3张完毕。第二次作业 校园的 秋季。第四次作业 人物的。第三次作业 ...
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