国培计划（2012）——小学数学骨干教师远程培训项目。
学科远培简报。
第三期。国培计划（2012）”骨干教师远程培训小学数学专家组主办
2023年10月19日。
学习当属最自然不过的一件事情，就像我们的呼吸，在生命里不可或缺。
因为学习，我们知书达理，文质彬彬，因为学习，我们眼界开阔，豁达淡然。
因为有学习的陪伴，生命的天空里，依然恬静安宁，因为有学习的陪伴，生命的长河里，永远幸福清明。
图形与几何”内容变化及教学思考。
南京东方数学教育科学研究所楚平。
新标准把“空间与图形”改为“图形与几何”。课程内容的调整主要是对《九年义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称“实验稿”）中文字表述不够清楚或比较生涩、整体结构不够协调、内容安排不够合理的地方作一些调整，以进一步完善几何课程内容体系。
一、核心内容的调整。
新标准“图形与几何”部分课程核心内容的变化主要有两个方面：一是在实验稿的基础上对空间观念的内涵进行更概括、更准确的描述；二是首次提出在义务教育阶段应当注重发展学生的几何直观能力。
1．对空间观念进行再描述。
空间观念历来是小学数学课程的核心内容之一。一般认为，空间观念是人脑藉由空间知觉所形成的物体形状、大小、位置关系、运动方式的映象。其主要是通过对事物的空间形式进行观察、分析和描述，展现出再认、保留与回忆图像的思考能力。
也就是说，人脑在对现实世界空间形式获得映象的基础上，要能够借助这些映象展开空间想象和推理，并在这一过程中发展空间思维能力。实验稿首次对空间观念的主要表现给出了具体的描述：“能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化。
能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系。能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。”这对教师认识、理解空间观念的含义和特点，探索发展学生空间观念的教学策略起到了重要的指导作用。
新标准对空间观念的描述是：“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。”相对而言，这一描述更具有概括性，更能反映空间观念的本质内涵。
具体地说，主要有几下几个方面：
1)“抽象”。几何学是研究几何体和平面图形的空间形式、位置关系和量的关系的学科。几何体是舍弃了现实物体的物质属性，如密度、重量、颜色等，而仅仅从它的空间形式的观点加以考虑的数学对象；平面图形是更一般的概念，其中甚至舍弃了空间的延伸。
例如，三角形、平行四边形、圆……是二维的，直线是一维的，点是没有维的，是精确到极限位置的抽象概念。学生的几何学习要经历对现实物体的感觉和知觉的过程，并在这一过程中逐步舍弃其他属性，对其形状、大小和位置等几何形态进行抽象和概括，进而获得相应的表象，建立几何概念。可见，“抽象”是学生建立几何概念过程中最基本的思想方法。
2)“想象”。小学几何并不是一个严格的公理化体系。学生的几何思维主要诉诸于自身的直观感受和所形成的表象。
只有当学生能够以头脑中形成的表象为基本元素，展开想象和推理，学生的空间观念才能真正得到发展。因此，由几何图形想象实物的形状，想象物体的方位和相互之间的位置关系等就成为学生几何学习过程中最重要的思维形式，而这种借助表象展开想象的能力是学生空间观念的重要表现形式。学生在几何学习过程中的想象主要包括：
根据几何图形想象物体形状和大小；根据图形之间的联系想象图形的转化过程；根据展开图想象几何体的形状；想象现实空间的方位和物体之间的位置关系；想象图形的运动方式等。
3)“描述”。现实生活中存在着大量的图形运动和变化现象，而在运动和变化中寻求不变是科学研究的重要方法，也是图形运动学习内容的价值所在。学习和探索图形的运动和变化，就是要使学生在探索和理解“变”与“不变”的过程中，抽象出图形运动的方式，并能借助已经形成的表象描述物体的运动和变化。
这既是空间观念的重要表现形式，也是发展学生空间观念的重要途径。这里的“描述”可以是用语言进行描述，也可以是用图形进行描述。主要内容有：
描述图形的轴对称；描述图形的平移和旋转；描述图形的放大和缩小。
4)“画出”。依据语言描述画出图形，是思维与外部语言、操作技能协同作用的结果。“画出”是具体的行为，而行为受观念或思想的制约。
“画出”图形的过程中，学生同样需要借助表象和已有的经验进行数学地思考。因此，依据语言描述画出几何图形也是空间观念的重要表现形式。画出几何图形主要包括画图表示学过的平面图形，组合图形，图形之间的关系，以及在方格纸上表示图形的位置，图形的运动和变化等。
2．明确提出发展学生几何直观的课程目标。
新标准将实验稿中“空间观念”的具体表现“能运用图形形象地描述问题，能利用直观来进行思考”单列出来，作为几何直观加以阐释，以凸显几何直观在学生数学学习过程中的地位和作用。
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题”。具体地说，几何直观是指学生通过几何学习，在掌握几何图形结构特征、空间关系以及度量的基础上，学会借助图形的几何性质表征数学事实，描述、分析和解决数学问题，探索和发现简单数学规律，初步形成从空间形式和关系的角度对现实问题进行抽象和推理论证（小学不涉及几何证明）的能力。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，**结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”。归纳起来，几何直观的教育价值主要有以下四个方面：
第一，有助于强化学生的数学理解。一方面，数学抽象地反映着客观世界，人们在认识和理解抽象的数学知识的过程中往往要借助视觉形象来表征，以更加清晰地把握知识的实质和关键，达到理解和接受抽象的数学内容和方法的目的。另一方面，直观的背景材料和几何形象能为学生创造自主思考的机会，促使他们通过自主探索和合作交流，发现和再创造数学知识，获得对数学的深刻理解。
因此，几何直观是揭示数学对象的性质和关系的有力工具，也是学生认识和理解数学不可或缺的辅助手段。第二，有助于启迪学生的解题策略。借助几何直观描述数学问题，能强化学生对问题信息及其关系的理解，能帮助学生从整体上把握问题，提示问题的转化方法，获得正确的解题思路。
第三，有助于促进学生的数学思考。数学的抽象性和学生思维的直观形象性始终是数学教学中一对矛盾。而直观的几何图形是学生最容易利用的数学形象，几何直观可以架起联结具体与抽象的桥梁，起到调和矛盾的作用。
借助几何直观，可以促使学生更有成效地展开数学思考，揭示数学对象的性质和关系，获得形式化的数学知识，使思维逐步转向更高级、更抽象的层面。因此，几何直观可以帮助学生透过现象看本质，有助于发展数学思考，形成良好的思维品质。第四，有助于增强学生的创新意识和实践能力。
很多时候，学生解题的灵感往往来自于几何直观。解决问题时需要把抽象的数学问题转化成可借用的几何直观问题，才有可能展开想象和创造性的探求活动。从这个意义上说，几何直观对于培养学生创新意识和实践能力都是十分重要的。
理解几何直观还应该弄清几何直观与以下几个概念之间联系：（1）几何直观与直观化。直观化是一个外延相对宽泛的概念，且具有多种表征形式，不仅包括直观的背景材料，如实物、图表、插图、物体模型等，还可以是现实的情景问题、学生头脑里的“数学现实”和外显化的数学模式等。
而几何直观是指利用图形的几何性质描述和分析问题的过程。（2）几何直观与空间观念。几何直观和空间观念是有着密切联系的统一体，两者是相辅相成、相互促进的。
一方面几何直观是建立在空间观念基础之上的，没有一定的空间观念就谈不上几何直观，另一方面借助几何直观描述和分析数学问题的过程也是学生联系具体的问题情境展开想象和思考的过程，这一过程本身就是发展空间观念的重要途径。（3）几何直观与数形结合。数形结合是把数和形结合起来考察数学对象，即在研究问题的过程中，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，使复杂问题简单化；或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使抽象的问题具体化。
而几何直观是把抽象的数学对象直观化、可视化，即形成和使用关于数学概念、性质、法则，以及数学问题的几何表征的过程。
二、具体内容变化。
图形与几何”部分在结构上没有变化，只是把实验稿中“图形与变换”改为“图形的运动”。在教学内容和要求上，调整的幅度也比较小，主要有以下几个方面：
1．删减的内容。
第一学段，由于学生对图形的认识以直观认识为主，图形学习经验并不丰富，基本的操作技能还没有形成。因此，新标准适当删减了一些学生在这个阶段理解或操作有困难的学习内容。主要包括：
删去“能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形”，相关要求放入第二学段教学，第一学段只要求“能辨认简单图形平移后的图形”；删去“能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形”，相关要求放入第二学段；删去“会看简单的路线图”；删去“体会并认识面积单位（千米2、公顷）”，相关要求放入第二学段。
第二学段，删去“了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点”，并把“两点确定一条直线”移到第三学段，作为“基本事实”进行教学。
2．降低要求的内容。
认识东、南、西、北和东北、西北、东南、西南等八个方向，是进一步学习图形与位置有关内容的重要基础，也是很重要的生活技能。而学生对现实空间良好的方位感的形成，关键在于熟练掌握东、南、西、北这四个方位。因此，新标准适当降低了这方面内容的教学要求，把根据“给定一个方向（东、南、西或北）辨认其余七个方向”，改为根据“给定东、南、西、北四个方向中一个方向，能辨认其余四个方向”，并且只要求知道“东北、西北、东南、西南”这四个方向。
3．增加的内容。
实验稿中要求学生认识扇形统计图，但没有安排认识扇形的学习内容。新标准在第二学段增加“知道扇形”的要求，使课程内容更加完整，也有利于学生进一步丰富对圆的认识，加深对扇形统计图特点的理解。
4．进一步规范课程目标的表述。
新标准对实验稿中表述不够准确、清楚的目标进行了必要的修改，以使课程目标的表述更准确、规范、完整。例如，在第一学段，将“通过观察、操作，能用自己的语言描述长方形、正方形的特征”改为“通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征”；将“辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状”改为“能根据具体事物、**或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体的形状”等。在第二学段，将“能区分直线、线段和射线”改为“结合实例了解线段、射线和直线”；将“欣赏生活的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案”改为“能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运用它们设计简单的图案”； 将“探索并掌握圆的周长公式”改为“通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式”等。
三、对教学的几点思考。
图形与几何”相关内容的教学主要是在学生已有的知识和经验基础之上，通过观察和操作、比较和分析、抽象和概括、推理和判断等活动，帮助学生认识常见几何图形和几何体的形状、大小、位置关系、运动方式，使学生更好地认识和把握现实空间，发展空间观念、几何直观和推理能力，以及运用所学知识解决实际问题的能力。
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