一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．设集合 a =，集合b =，若，则实数a的取值范围是 。
2．复数z 满足z i = 3 i，则复数z= 。
3.函数的定义域为。
4.某城区有大学生3500人、中学生4000人，小学生4500人，为掌握各类学生的消费情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为300的样本，应抽取中学生人。
5.在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率为 。
6.执行如图所示的程序框图，输出的值为___
7.将函数的图象向右平移个单位，再将其横坐标伸长为原来的2倍后所得图象对应的解析式为。
8．已知双曲线的一个焦点是抛物线 y2 = 8x的焦点，且双曲线c 的离心率为2，那么双曲线c 的方程为 .
9.若∈，＝则的值是。
10.如图，δabc是某屋顶的断面，cd⊥ab，横梁ab的长是竖梁cd长的2倍。设计时应使保持最小，则= .
11.函数是定义在上的偶函数，且满足．当，时，.则在区间， 上方程恰有四个不相等的实数根的充要条件为。
12．如图，四面体 abcd的一条棱长为 x，其余棱长均为 1，则四面体 abcd体积的最大值为 .
13. 定义：曲线上的点到点的距离的最小值称为曲线到点的距离。已知圆到点的距离为，则实数的值为。
14. 设正的面积为2，边的中点分别为，为线段上的动点，则的最小值为。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （本小题满分14分）
在中，.1）若，求的大小；
2）若，求的面积的最大值。
16.（本小题满分14分）
如图1，在梯形中，，，四边形是矩形。 将矩形沿折起到四边形的位置，使平面平面，为的中点，如图2.
1）求证：；
2）求证： /平面；
3）判断直线与的位置关系，并说明理由．
17. （本小题满分14分）
某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入的x万元之间满足：①y与(a－x)和x2的乘积成正比；②x∈(0，]，其中m是常数．若x＝时，y＝a3．
(1)求产品增加值y关于x的表达式；
(2)求产品增加值y的最大值及相应的x的值．
18.（本小题满分16分）
已知椭圆过点，且离心率。
1）求椭圆的方程；
2）若椭圆上存在点关于直线对称，求的所有取值构成的集合，并证明对于，的中点恒在一条定直线上。
19.（本小题满分16分）
已知函数。
1）求函数的单调区间；
2）若存在两条直线，都是曲线的切线，求实数的取值范围；
3）若（其中），求的取值范围，并证明。
20. 在无穷数列中，，对于任意，都有，且．设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值，我们称数列为数列的伴随数列．
例如：数列是，它的伴随数列是．
1)设数列是，请写出的伴随数列的前项；
2)设，求数列的伴随数列的前项和；
3）设，求数列的伴随数列前项和．
2024年高考模拟卷（a）答案。
1．a≥1 ；2.-1-3i；3.；4.100；5.；6.4；7.；8.；
15.解：（ⅰ方法一：因为且，所以2分。
又因为4分。
所以。所以。
所以6分。因为，所以为等边三角形。
所以7分。方法二： 因为，所以1分。
因为，所以。
所以3分。所以。
所以。所以5分。
因为， 所以。
所以，即7分。
2）因为，且，所以。
所以9分。当且仅当时，等号成立）.…11分。
因为，所以。
所以。所以。
所以当是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值。……14
16（14分）
证明：（1因为四边形为矩形，所以。
因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面3分。
因为平面，所以5分。
2证明：因为四边形为矩形，所以。
因为，所以平面平面7分。
因为平面，所以平面9分。
3）线与相交，理由如下10分。
取的中点，的中点，连接，，.
所以，且。在矩形中，为的中点，所以，且。
所以，且。所以四边形为平行四边形。
所以12分。
因为四边形为梯形，为的中点，所以，.
所以四边形为平行四边形。
所以，且。所以且。
所以是平行四边形。
所以，即。因为，所以四边形是以，为底边的梯形。
所以直线与相交14分。
17.解：(1)设y＝f(x)＝k(a－x)x2，因为当x＝时，y＝a3，所以k＝8，所以f(x)＝8(a－x)x2 ，x∈(0，]．
(2)因为f′(x)＝－24x2＋16ax，令f′(x)＝0，则x＝0(舍)，x＝．
①当≥，即m≥1时，当x∈(0，)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，)上是增函数，当x∈(，时，f′(x)＜0，所以f(x)在(，)上是减函数，所以ymax＝f()＝a3；
当＜，即0＜m＜1时，当x∈(0，)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以ymax＝f()＝a3，
综上，当m≥1时，投入万元，最大增加值a3．
当0＜m＜1时，投入万元，最大增加值a3．
18（16分）
解：（1）因为椭圆过点，所以2分。
因为。所以。
所以椭圆的方程为4分。
2）因为点在直线上，且关于直线对称，所以，且。
设（），的中点为。
则6分。又在椭圆上，所以。
所以。化简，得。
所以10分。
又因为的中点在直线上，所以。
所以。由可得。
所以，或，即，或。
所以14分。
所以对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上。
16分。19（共16分）
解：（11分。
当时，，则函数的单调递减区间是。 …2分。
当时，令，得。
当变化时，，的变化情况如下：
所以的单调递减区间是，单调递增区间是。 …4分。
2）因为存在两条直线，都是曲线的切线，所以至少有两个不等的正实根5分。
令得，记其两个实根分别为。
则解得7分。
当时，曲线在点处的切线分别为，.
令。由得（不妨设），且当时，，即在上是单调函数。
所以。所以，是曲线的两条不同的切线。
所以实数的取值范围为8分。
3）由（1）知：
当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意9分。
当时，因为在内是减函数，在内是增函数，所以要使，必须，即。
所以10分。
当时，.令，则。
当时，，所以，在上是增函数。
所以当时，.
所以12分。
因为，所以在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为13分。
因为在内是减函数，在内是增函数，所以。
综上所述，的取值范围是15分。
因为，所以16分。
20（共16分）
解：(14分。
2)由，得
所以当时，．
当时，． 当时，．
所以9分 3）由，得．
因为使得成立的的最大值为，所以．
当时， 当时，
当时， 所以。
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