第十二章实数。
第一节实数的概念。
12.1 实数的概念。
1．有理数就是用两个整数之比表示的分数。
如果把整数看作分母为一的分数，那么有理数就是用两个整数之比表示的分数：
其中q≠0，p、q是整数，p、q互素）
2．任何一个分数都可以表示为有限小数（包括整数），或者表示为无限循环小数。
3．无限不循环小数叫做无理数。
有理数和无理数统称为实数。
第二节数的开方。
12.2 平方根和开平方。
1．如果一个数的平方等于a（即= a），那么这个数（x）叫做a的平方根。
2．任何一个正数的平方根都有两个。（±
3．求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数，（a≧0）← 任何一个数的平方都为非负数。
4．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
零的平方根是零；
负数没有平方根。
5．正数a的两个平方根可以用“±”表示，其中表示a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；-表示a的负平方根，读作“负根号a”。
6．零的平方根记作， =0
7．开平方与平方互为逆运算。
8． =a∣（a为一切的实数）
=a（a≧0）先保证有意义。
9．结果为非负数的有：≧0（a为一切的实数）
0（a为一切的实数）
0（a≧0）
12.3 立方根和开立方。
1．如果一个数的立方等于a（即=a），那么这个数（x），叫做a的立方根，用“”表示，读作“三次根号a”，中的a叫做被开方数，“3”叫做根指数。求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
2．任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。
4．被开方数的小数点向左（或右）移动三位，结果的小数点相应地向左（或右）移动一位。（被开平方时则移动两位，相应结果移动一位）。
12.4 n次方根。
第三节实数的运算。
12.5 用数轴上的点表示实数。
1．实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点表示的都是实数。
2．全体实数布满了整条数轴。
3．一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。实数a的绝对值记作︱a︱。
4．绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；0的相反数是0；非零实数a的相反数是—a。
5．负数小于零；零小于正数。
两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。
从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。
7．数轴上，如果点a、点b两点所对应的数分别为a，b，那么a、b两点的距离：
ab=︱a—b︱（或ab=︱b—a︱）
12.6 实数的运算。
2．开方与乘方是同级运算。
3． =a≥0，b≥0）
=（a≥0,b＞0 ）
4．完全符合实际，表示一个量多少的数叫做准确数。
5．与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）。
6．近似数与准确数的接近程度即近似程度。对近似程度的要求，叫做精确度。
7．对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字。
第四节分数指数幂。
12.7 分数指数幂。
1．把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：
当n是偶数时，a＞0；当n是奇数时，a≠0）
2．上面规定中的和叫做分数指数幂，a是底数。
3．整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂。
4．有理数指数幂有下列运算关系：
设a＞0，b＞0，p、q为有理数，那么。
5．方根的根指数——分数指数中的分母。
本章小结。1．实数的概念。
有理数、无理数的概念。
实数的分类。
2．数的开方。
平方根与立方根相关概念对照。
几次方根相关概念对照。
3．实数的运算。
数轴上的点表示数（一一对应）
实数的大小比较。
数轴上两点之间的距离。
实数运算的法则、顺序。
近似数（有效数字）
4．分数指数幂。
分数指数与根式互化。
第十三章相交线平行线。
第一节相交线。
13.1 邻补角、对顶角。
1．有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线（两角互补），具有这样关系的两个角叫做互为邻补角。 “补”+“邻”= 邻补角。
2．互为补角仅指两个角之间的数量关系，而互为邻补角包括两个角之间数量关系与位置关系两个方面。
3．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这样位置关系的两个角互为对顶角。
4．对顶角相等。
5．求证：∠1 = 3
解：∵∠1 + 2 = 180° ∠2 + 3 = 180°（邻补角的定义）
∴∠1 + 2 = 2 + 3（等量代换）
∴∠1 = 3（等式性质）
另解：∵∠1 + 2 = 180° ∠2 + 3 = 180°（邻补角的定义）
∴∠1 = 180°— 2 ∠3 = 180°—∠2（等式性质）
∴∠1 = 3（等量代换）
13.2 垂线。
1．两条直线相交形成四个小于平角的角，其中两个角在数量上大于或等于90°，有两个角在数量上小于等于90°。
其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角。
2．如果两条直线的夹角是锐角，那么就说这两条直线互相斜交。其中一条直线叫做另一条直线的斜线。
3．如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。
4．垂直是相交的一种特殊情况。
5．“垂直”用符号“⊥”表示，读作“垂直于”， ab⊥cd 垂线为直线。
6．（在同一平面内）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7．过线段中点且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
符号表达式：ef⊥ab（或ab⊥ef）, ao = bo
8．线段po称为点p到直线l的垂线段。
9．线段pa1,pa2,pa3都是斜线段。垂线段最短。
10．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
11．如果一个点在直线l上，那就说这个点到直线l的距离为0。
13.3 同位角、内错角、同旁内角。
1．如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，直线c叫做截线。
∠1与∠5都在截线c的同旁，又分别处在直线a、b相同一侧的位置。 —同位角。
三线八角图中有四组同位角。
∠2与∠8在截线c的两旁，又在直线a、b之间。 —内错角。
三线八角图中有两对内错角。
∠2与∠5在截线c的同旁，又在直线a、b之间。 —同旁内角。
三线八角图中有两对同旁内角。
三线八角。第二节平行线。
13.4 平行线的判定。
1．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2．如图，直线a和直线b是平行线，也称它们互相平行，记作a∥b，读作“a平行于b”。
3．两条直线平行的判定方法1：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行。
简单：同位角相等，两直线平行。
4．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
5．平行于同一条直线的两直线平行。
6．垂直于同一条直线的两直线平行。
7．两条直线平行的判定方法2：
内错角相等，两直线平行。
8．两条直线平行的判定方法3：
同旁内角互补，两直线平行。
9．同角（或等角）的余（补）角相等。
13.5 平行线的性质。
1．平行线性质：
两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
2条件结论。
平行线的判定角的关系两直线平行。
平行线的性质两直线平行角的关系。
3．∵a∥b , b∥c ∴a∥c
称为“平行的传递性”
4．两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离。
5．平行线间的距离处处相等。
补充、拓展：解题表示方法。
1．等量代换：∵a = b , b = ca = c（等量代换）
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