（一） 直接运算型。
例1】 定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），1） 求5※7，7※5；
2） 求12※（3※4），（12※3）※4；
3） 这个运算“※”有交换律、结合律吗？
分析：（1）5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.
（2）要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.
对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.
3）由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）， 所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律。由（2）的例子可知，运算“※”没有结合律。
[巩固]定义新的运算，求：
1），2），3）这个运算有交换律吗？
分析：（1）=6×2+6+2=20；=2×6+2+6=20
3）由于=（普通加法、乘法交换律），所以，即满**换律。
拓展]如果a、b、c是三个整数，则他们满足加法交换律和结合律，即a＋b＝b＋a，（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．现在规定一种运算“*”它对于整数a、b、c、d满足：（a，b）*（c，d）＝（a×c＋b×d，a×c－b×d）．例如：（4，3）*（7，5）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13）．请你举例说明：
“*运算是否满**换律和结合律．
分析：（7，5）*（4，3）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13），所以“*”运算满足加法交换律，2，1）*（3，2）*（3，4）＝（2×3＋1×2，2×3－1×2）*（3，4）＝（8，4）*（3，4）＝（3×8＋4×4，3×8－4×4）＝（40，8） ；2，1）*[3，2）*（3，4）]＝2，1）*[3×3＋2×4，3×3－2×4]＝（2，1）*[17，1]＝（2×17＋1×1，2×17－1×1）＝（35，33）．所以，（2，1）*（3，2）*（3，4）≠ 2，1）*[3，2）*（3，4）]，因此 “*不满足结合律．
例2】 定义新运算“\”表示求两个自然数相除所得商的运算，例如：9\2＝4，10\3＝3.
1) 求27\8,2007\81,2002\66;
2) 试用符号“\”和已经学过的运算符号来表示求两个自然数相除所得的余数的运算。
分析：（1）27\8＝3;
2）由于被除数÷除数＝商……余数，∴余数＝被除数－除数×商，a除以b的余数为a－b×（a\b）.
前铺]两个整数a和b，a除以b的余数记为ab.例如，135=3.根据这样定义的运算，计算：
1）(269) 4等于多少？
分析：（1）因为：26÷9=2……8，8÷4=2，所以 (269)4=84=0
（2）因为：2008÷19=105……13，108÷13=8……2，所以 108（200819）=10813=4
例3】 如果 3*2=3＋33=36
那么4*5=(
分析：4*5=4＋44＋444＋4444＋44444=49380
巩固]规定： 6*2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246，1*4=1＋11＋111＋1111=1234.
求7*5.分析：7*5=7+77+777+7777+77777=86415
例4】 定义两种运算“”“对于任意两个整数a、b，ab=a+b-1，ab=a×b-1，计算：
分析：=6+8-1=13，=3+5-1=7，=13+7-1=19，419=4×19-1=75 =75
巩固]规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ 为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆5=3.请计算下式：[(70☆3)△5]×[5☆(3△7)].
分析：因为(70☆3)△5=3△5=5，5☆(3△7)=5☆7=5，所以[(70☆3)△5]×[5☆(3△7)]=5×5=25
例5】 定义“*”的运算如下：对任何自然数a、b，如果a＋b是3的倍数，则a*b＝，如果a＋b除以3余数为1，则a*b＝，如果a＋b除以3余数为2，则a*b＝.
求：（2005*2006）*（2007*2008）
分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891
前铺]定义运算“⊙”如下：．
1） 计算20072009，20062008
2） 计算159，1（59），分析：（教师先告诉学生表示（a+b）÷2）
巩固]定义“☆”的运算如下：对任何自然数a、b，如果a＋b是偶数，则a☆b＝，如果a＋b是奇数，则a☆b＝．
求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)；
分析： （教师先告诉学生表示（a+b）÷2）
1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝，2001＋2002＝4003是奇数，所以2001☆2002＝，1999＋2001＝4000是偶数，所以1999☆2001＝，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000
3） 因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝，1998＋2001＝3999是奇数，所以1 998☆2001＝，1999＋2004＝4003是奇数，所以。
1999☆2 004＝，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001
例6】 对自然数m，n（n≥m），规定＝n×（n－1）×（n－2）×…n－m＋1）；．求：
分析：=（6÷1=6；=(6×5)÷（2×1）=15；=（6×5×4）÷（3×2×1）=20；=（6×5×4×3）÷（4×3×2×1）=15；=（6×5×4×3×2）÷（5×4×3×2×1）=6；=（1
前铺]对自然数m，n（n≥m），规定＝n×（n－1）×（n－2）×…n－m＋1）．例如：＝4×3＝12．＝4×3×2＝24．求：（1）；（2）．
分析：（1）＝5×4×3＝60，＝5×4×3×2＝120，＝5×4×3×2×1＝120
总结]这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字。
卷ⅱ二） 反求未知数。
例7】 规定：a△b=a＋（a＋1）＋（a＋2）＋…a＋b-1），其中a、b表示自然数。
1）求1△100的值；
2）已知x△10=75，求x.
分析：（1）1△100=1＋2＋3＋……100=5050
2）x△10=x＋x＋1＋x＋2＋……x＋9=10x＋45=75，所以x=3
拓展]定义新运算“※”如下：对任意自然数a，b，a※b=5×a-3×b，能否找到一个自然数n，使得5※6※n=5※（6※n）？如果存在，求出自然数n；如果不存在，说明理由。
分析：5※6※n=（5×5-3×6）※n=7※n=5×7-3×n；5※（6※n）=5※（5×6-3×n）=5※（30-3×n）=5×5-3×（30-3×n）=9×n-65，因为5※6※n=5※（6※n），所以有35-3×n=9×n-65，即12×n=100，所以没有满意的自然数n，使得5※6※n=5※（6※n）
例8】 （奥数网题库）x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值。
分析：我们要先求出 k、m、n的值。通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出 k的值。
因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：
当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64，解出k=2.
当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k=64，k不是自然数，所以m=l，n=2，k=2. （1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.
巩固一]对于任意的整数x与y定义新运算“△”x△y= (其中m是一个确定的整数).如果1△2=2，则2△9=?
分析：已知1△2=2，根据定义得 1△2=，于是有2×(m＋4)=12，解出m=2.所以。
巩固二]对整数a、b、c，规定符号等于a×b
b×c－c÷a,例如3×5＋5×6－6÷3＝15＋30－2＝43，已知28， 那么a＝__
分析：2a＋4a－4÷2＝28， 即 6a＝30，所以a＝5
[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算。
三）计算机程序语言。
例9】 （第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）如下图是一个运算器的示意图，a、b是输入的两上数据，c是输出的结果，右下表是输入a、b数据后，运算器输出c的对应值，请你据此判断，当输入a值是1999，输入b值是9时，运算器输出的c值是___
三年级奥数学练习试卷思维培训 4
第二讲速算与巧算 一 卷 一 分组凑整法。例1 计算 1 117 229 333 471 528 622 例2 奥数网题库 计算 例3 仁华试题 计算 6472 4476 2480 5319 3323 1327 9354 7358 5362 6839 4843 2847 例4 乒乓球训练所为了方便乒...
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