专题四：如何构建相遇问题的数学模型。
执教刘雯东营市实验学校。
设计魏瑞霞东营市实验学校。
本专题研究的基本理念：
这里的“数学应用问题”是指运用数学知识和方法解决生活的实际问题。
1．建立数学模型是解决数学应用问题的本质。
数学建模是20世纪下半叶，随着计算机技术的发展而形成的数学思想方法，是数学应用问题的基本模式。我国著名教育专家张奠宙教授指出：“解决数学应用问题的本质是数学建模。
”《数学课程标准》明确指出：“义务教育阶段的数学课程不仅要考虑学生自身的特点，更要遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将数学实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程……”
所谓数学模型，是指现实世界的某一事物系统，为了一个特定的目的，根据事物系统特有的内在规律，采用形式化的数学语言或数学符号，概括或近似地表达出来的一种数学结构。简单地说，数学模型就是对实际问题的一种数学表述，是对现实原型的概括，是数学基础知识与数学实际应用之间的桥梁。
小学阶段的数学建模通常是从实际生活原型或提供的实际背景出发，充分运用观察与实验、操作与比较、分析与综合、抽象与概括等思维方式，去掉非本质的东西，用数学语言或数学符号表述出数学模型，再运用数学模型解决一些实际问题。简单地说，就是将当前的问题转化为数学模型，然后用数学的方法去求解。
数学课程标准解读》中指出：数学建模的建立过程大致如下框图：
由此可知，数学建模的过程即解决问题的过程，解决问题是数学建模的载体，数学建模是解决问题的本质。在具体的教学实践中，我们根据小学生的认知规律、年龄特点和教学内容的特征，遵照“问题情境——建立模型——应用拓展”的基本步骤，设计了构建应用问题的数学模型的基本思路：创设问题情境，发现提出问题——建立模型准备；自主整理信息，**解决问题——建立数学模型；解释应用拓展，体验数学价值——应用数学模型。
2．落实两个转化是建立数学应用问题模型的途径。
数学建模的过程实质上就是解决问题的过程。我国著名的小学数学教育专家周玉仁教授指出：解决问题是一个系统工程。
小学生解决问题的过程，实质上是完成认识上的两个转化：第一个转化是从纷杂的实际问题中，筛选出有用信息，从而抽象成数学问题——从生活原型中抽象出数学问题是“数学建模”的起点；第二个转化是根据已抽象出来的数学问题，全面分析其中的数量关系，探索出解决问题的方法并求解，必要时回顾反思解决问题的过程——分析数学问题，建立数学模型是“数学建模”的核心。解决问题的“两个转化”相辅相成，缺一不可。
反思传统“应用题”的教学不难发现：过去教学特别重视第二个转化，引导学生分析条件和问题间的关系，根据数量关系列式解答并检验——这是解决数学应用问题必须具备的基本能力。但是，最大的缺失是忽视第一个转化，问题采用文字形式由教材或教师直接出示，学生搜集、整理、加工信息的能力，及发现问题、提出问题的能力薄弱——这也是我国传统应用题教学中的一大弊病。
鉴于此，在教学数学应用问题时，我们既重视“解决问题”的第一个转化：从学生的生活实际出发，创设与学生的日常生活紧密联系的上学情境，且采用动画形式呈现，学生在现实而有趣的、富有挑战性的问题情境的吸引下，主动发现问题、提出问题，进而提炼生成完整的数学问题，帮助学生顺利完成解决问题的第一个转化；同时，我们也重视“解决问题”的第二个转化：即放手让学生自主整理信息——理清数量关系；借助直观图形——探明解题思路；明确解题方法，独立列式解答——自主建构应用问题的数学模型，帮助学生顺利完成解决问题的第二个转化。
这样，同时重视并扎实完成“两个转化”，让学生有效经历“解决问题”的全过程，从而大面积提高学生解决问题的能力，达到增强解决问题实效性的目的。
3．获得数学思想方法是构建数学应用问题模型的核心。
数学课程标准》在课程总体目标中明确指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必需的应用技能；初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。
孔企平先生在《小学数学课程与教学论》一书中也指出：解决问题活动的价值不只是获得具体的结论，主要价值在于使学生初步学会从数学的角度发现问题、提出问题和解决问题；综合运用数学知识方法解决简单的实际问题；获得分析和解决问题的一些基本方法，并在此基础上形成解决问题的基本策略，掌握其思想方法。
因此，教学数学应用问题时，我们着眼于学生的发展需要，根据课程标准的要求，设计了一明一暗两条线：明线是指数学基础知识和基本技能，即结合解决应用问题，理解运算顺序，掌握运算方法，并应用解决实际问题；暗线是指数学思想方法，即在解决应用问题的过程中，学生运用并形成的模拟与实验、操作与画图、摘录与列表、分类与比较、综合与分析等解决问题的一些基本方法策略，及数形结合、数学模型等数学思想方法。这样，在落实数学双基教学的过程中突出数学思想方法的教学，并将数学思想方法的教学有机地融合于基础知识和基本技能的教学之中，实现数学思想方法教学与双基教学的和谐统一。
本课题教与学的内容、目标及设计：
教学内容】：
青岛版《义务教育课程标准实验教科书·小学数学》四年级上册第46页。
内容简析】：
相遇问题隶属于行程问题的范畴，是一种典型的数学应用问题。相遇问题的学习是建立在学生已学“路程、时间、速度”的概念及其数量关系的基础上，从研究一个物体的运动情况扩展到研究两个物体的运动情况展开的。同时，学生学会解决两、三步简单实际问题的基础知识、基本技能、解题经验、方法策略等，都为构建相遇问题的数学模型提供了重要基础。
是今后进一步学习其它行程问题、工程问题等问题的基础。
教学目标】：
1．借助生活事例，运用模拟表演策略帮助学生理解“两个物体”、“两个地方”、“同时出发”、“相对而行”、“最后相遇”等关键词的含义，逐步提炼形成相遇问题，理解相遇问题的基本结构特征；
2．结合具体情境，运用摘录、**、画图等策略引导学生整理信息、分析相遇问题的数量关系，初步构建起相遇问题的数学模型，进而自主解决问题；
3．在解决问题的过程中，引导学生亲身经历“发现问题——提出问题——研究问题——解决问题”的过程，形成解决问题的策略，积累解决问题的活动经验，增强学生的数学应用意识及运用知识方法解决简单实际问题的能力。
教学重点】：
用画线段图的方法分析“相遇问题”的数量关系，构建数学模型；
教学难点】：
理解相遇问题的基本特征，构建“速度和×时间=总路程”这一数学模型；
教具准备】：多**课件；
教学设计过程】：
一、借助身边事例，复习引入新知——唤醒旧知模型，激活认知经验。
1．教师出示问题，学生独立解决，并回忆其数量关系。
教师：在我们的身边、在我们的生活中处处都有数学。如：王明步行去上学，每分钟走70米，5分钟到达学校。王明家到学校相距多少米？
2．学生独立解决后，集体反馈意见，并揭示其数量关系。
出示：速度×时间=路程。
3．教师小结，引入新知。
教师：这是过去学习的一个物体运动的问题，我们今天一来起研究两个物体运动的问题。
设计意图：从学生的生活实际出发，设计一个与现实生活紧密联系的上学情境，从学生的最近发展区出发，唤起学生对旧知模型——“速度×时间=路程”的回忆，既激活学生已有的认知经验，了解学生的学习起点，又帮助学生准确把握新旧问题的衔接点，找准新问题的生长点。以旧引新，导入新课。
】二、创设现实情境，发现提出问题——实现解决问题的第一个转化。
一）初次**两物体的运动过程，寻找新知学习的切入点——唤起相遇问题的生活经验。
1．****王明和李华上学的动画情景，诱发学生观察他们的运动过程。
动画情景的内容大致如下：王明和李华分别住在学校的两侧，两人同时从家出发，相对而行，经过5分钟两人同时到达学校。）
2．结合观察到的运动现象，引导学生用语言描述他们两人的运动过程。
设计意图：借助动画情景，一方面诱导学生初次感知两个物体的运动，从直观的角度感知“相遇问题”的特征；二方面借助学生的观察和描述，了解学生对“相遇问题”已有经验和认知基础，帮助教师寻找新知学习的切入点和生长点；三方面通过观察和用语言描述两个物体的运动过程，培养学生的观察、想象和语言表达能力。】
二）模拟两物体的运动过程，理解相遇问题的基本特征——构建相遇问题的运动模型。
1．**再次**上述动画情景，教师和一名学生模拟情境，现场表演王明和李华的运动过程。
1）教师和学生在同一个位置。学生会发现应该从两个不同的地方出发，板书“两个地方”。
2）师比学生晚走了一会儿，大约3步的时间。学生会发现两个人应该同时出发，板书“同时出发”。
3）教师走的方向不对，拐弯走了。学生会发现两人应该面对面走。教师指出“面对面”在数学上称之为“相对而行”，板书“相对而行” 。
4）师生最后走一遍正确的，两人同时到达学校，也就是说两人在学校相遇了，板书“最后相遇”。
2．现场模拟表演后，引导学生用上“两个物体”、“两个地方、”“同时出发”、 相对而行”、“最后相遇”这几个关键词描述他们的运动过程。
3．同桌两人边打手势演示边用上“两个物体”、“两个地方、”“同时出发”、 相对而行”、“最后相遇”等关键词描述他们两人的运动过程。
设计意图：这是建立数学模型的必要阶段。我们都知道，数学模型是关于现实世界为某种目的的一个抽象的、简化的数学结构。
同时，建立数学模型的目的是为了科学、有效地描述自然现象和社会现象，进而解决实际问题。因此，任何数学模型的建立都有具体的现实情境。教学这节课时，教师要创造学生比较熟悉的、且亲身经历的、含有数学问题的上学情景。
这样，从学生熟悉的生活实例入手创设问题情境，采用模拟表演、打手势等直观生动的演示方式描述王明和李华的运动过程，一是激发学生的数学学习兴趣，调动学生眼、耳、手、口等多种感官并用，吸引学生积极主动地投入到**学习活动中来；二是借助学生已有的生活经验和认知基础，让学生了解数学问题的实际背景，并引导学生理解“同时出发”、“相对而行”、“最后相遇”等关键词的含义，掌握相遇问题的基本特征，初步建立相遇问题的模型雏形，为建立数学模型做好准备；三是引导学生学会用数学的眼光观察自己的生活，感受到生活中处处有数学，数学能帮助我们解决许许多多简单的实际问题，体验数学的意义和价值。】
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