（11四川凉山）如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为弧的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点。
1）求证：是半圆的切线；
2）若求的长。
考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题：综合题．
分析：（1）连接，为的角平分线，得，又，可证，由对顶角相等得，即，由为弧的中点，得，由为直径得。
即，由∥可证，从而有，证明结论；
2）在中，由勾股定理可求，由得，则，由（1）可证∽，利用相似比可得，在中，根据，得，可求．
解答：（1）证明：连接， ∵于，， 又∵为弧中点， ，是直径， ，又∵，
， 又∵是直径， 是半圆的切线；
2）∵。由（1）知，，
在中，于，平分， ，
由∽，得。，
点评：本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理的运用．关键是由已知条件推出相等角，构造互余关系的角推出切线，利用相等角推出相似三角形，由相似比得出边长的关系，由勾股定理求解．
12海南琼海嘉积中学中考一模）如图，抛物线与轴交于、两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。
1）求抛物线的解析式；
2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；
3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。
考点：二次函数综合题．
分析：（1）根据一元二次方程解法得出两点的坐标，再利用交点式求出二次函数解析式；
2）首先判定∽．得出，进而得出函数的最值；
3）分别根据当为平行四边形的边时，平行且等于与当为平行四边形的对角线时，分析得出符合要求的答案．
解答：解：（1
又∵抛物线过点，故设抛物线的解析式为，将点的坐标代入，求得。 抛物线的解析式为。
2）设点的坐标为，过点作轴于点（如图（1））。
点的坐标为，点的坐标为， ，
当时，有最大值。
此时，点的坐标为。
3）∵点在抛物线上，当时，点的坐标是。
如图（2），当为平行四边形的边时， ，
如图（3），当为平行四边形的对角线时，设，则平行四边形的对称中心为。 的坐标为。
把代入，得。解得。
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，．
11四川眉山）如图，在直角坐标系中，已知点，，将点绕点顺时针方向得到点；顶点在坐标原点的拋物线经过点．
1）求抛物线的解析式和点的坐标；
2）抛物线上一动点，设点到轴的距离为，点到点a的距离为，试说明；
3）在（2）的条件下，请**当点位于何处时，的周长有最小值，并求出的周长的最小值．
考点：二次函数综合题。
专题：综合题。
分析：（1）设抛物线的解析式：，把代入即可得到的值；过点作轴于，过点作轴于，易证，得到，即可得到点坐标；
2）设点坐标为，过作轴于，轴于，则有，又，，在中，利用勾股定理得到，即有结论；
3）的周长，由（2）得到的周长，要使最小，则三点共线，点坐标为，此时，得到的周长的最小值．
解答：解：（1）设抛物线的解析式：，∵拋物线经过点，解得，所以抛物线的解析式为：；
过点作轴于，过点作轴于，如图，点绕点顺时针方向得到点， ，点坐标为；
2）设点坐标为，过作轴于，轴于，如图，点在抛物线上， ，在中，，
3）由（1）得， 的周长，要使最小，则三点共线，此时p点的横坐标为3，把x=3代入y=x2，得到y=，即点坐标为，此时， 的周长的最小值．
点评：本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短．
11四川绵阳）已知是等腰直角三角形，，是腰上的一个动点，过作垂直于或的延长线，垂足为，如图．
1）若是的中线，求．的值；
2）若是的角平分线，求的值；
3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并**的值能小于吗？若能，求出满足条件的点的位置；若不能，说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；解直角三角形．
专题：几何综合题．
分析：先设，则．在直角三角形中求得得平方，又求得∽，（1）是的中线，则，则解得；
2）是的角平分线，则求得值；
3）由以上两个问题，从的比值求得的值，则求得的值．
解答：解：设，则．
在中，．由已知可得∽， 所以，1）若是的中线，则，得．
2）若是的角平分线，则，得，解得，3）若，则有，解得，表明随着点从向移动时，逐渐增大，而逐渐减小，的值则随着从向移动而逐渐增大．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，本题从中线，角平分线以及中线与角平线相结合的问题来考查，是一道考查全面的好问题．
11四川绵阳）已知抛物线与轴只有一个交点，且与轴交于点，如图，设它的顶点为．
1）求的值；
2）过作轴的平行线，交抛物线于点，求证：是等腰直角三角形；
3）将此抛物线向下平移个单位后，得到抛物线，且与轴的左半轴交于点，与轴交于点，如图．请在抛物线上求点，使得是以为直角边的直角三角形．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）根据抛物线与轴只有一个交点可知△的值为，由此得到一个关于的一元一次方程，解此方程可得的值；
2）根据抛物线的解析式求出顶点坐标，根据点在轴上求出点坐标，再求点坐标，根据三个点的坐标得出为等腰直角三角形；
3）根据抛物线解析式求出的坐标，然后分别讨论以为直角顶点和以为直角顶点的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线与轴只有一个交点， 解得，；
2）由（1）知抛物线的解析式为，易得顶点，当时，，得．
由，解得，（舍）或，所以点坐标为：．
过作轴的垂线，垂足为，则，．在中，，
同理，在中，，于是， ．
因此是等腰直角三角形；
3）由题知，抛物线c′的解析式为，当时，；
当时，或， ，即．
第一种情况：若以点为直角顶点，设此时满足条件的点为，作轴于．， 得∽，则，即， ①
由于在抛物线上， 则有，整理得，，解得，舍）或．
把代入①中可解得，。．
第二种情况：若以点为直角顶点，设此时满足条件的点为，作轴于．
同第一种情况，易知∽，得，即．， 2， ②由于在抛物线上，则有， 整理得，解得（舍）或．
把代入②中可解得，。
综上所述，满足条件的点的坐标为：或．
点评：本题考查二次函数的综合运用，其中涉及求抛物线解析式和抛物线的顶点、三角形相似、抛物线的平移及直角三角形的性质．
11四川成都）某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形．已知木栏总长为米，设边的长为米，长方形的面积为平方米．
1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．当为何值时，取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值；
2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为和，且到的距离与到的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当（l）中取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．
考点：二次函数的应用；相切两圆的性质。
专题：计算题；代数几何综合题。
分析：（1）表示出的长，由矩形的面积公式得出答案；
2）设出圆的半径和药材种植区外四中平面路面的宽，利用题目中的等量关系列出二元一次方程组，求得半径和路面宽，当路面宽满足题目要求时，方案可行，否则不行．
解答：解：（1）∵，
当x＝时，有最大值为；
2）设圆的半径为，路面宽为，根据题意得： 解得：
路面宽至少要留够米宽， 这个设计不可行．
点评：本题考查了二次函数的应用，题目中还涉及到了二元一次方程组及方案设计的相关知识，是一道难度适中的综合题．
11四川成都）已知：如图，以矩形的对角线的中点为圆心，长为半径作⊙，⊙经过两点，过点作，垂足为．过作∥，分别与．⊙及的延长线相交于点．
1）求证：；
2）如果（为大于零的常数），求的长：
3）若是的中点，且，求⊙的半径和的长．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；垂径定理；圆周角定理。
专题：证明题；几何综合题。
分析：（1）根据是矩形，求证即可；
2）根据勾股定理求得的长，再求证c∽，利用其对应边成比例即可求得．
3）根据三角形中位线定理可求出，再利用≌可求出，然后即可求出；利用射影定理求出，再利∽求证，然后即可求得即可．
解答：（1）证明：∵四边形据是矩形，2）∵，
3）连接，∵为矩形， ，是的中点， ，为矩形， ，则．
点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，垂径定理，圆周角定理等知识点，综合性很强，利用学生系统的掌握知识，是一道很典型的题目．
11四川广安）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是直角梯形，∥，与轴相交于点，且是的中点，三点的坐标分别是，连接，并把线段沿方向平移到，若抛物线经过点．
1）求抛物线的解析式．
2）抛物线上是否存在点．使得．若存在，求出点的坐标；若不存在．请说明理由．
3）设抛物线与轴的另—个交点为．点是抛物线的对称轴上的一个动点，当点在什么位置时有最大？并求出最大值．
考点：抛物线，存在，动态，压轴。
专题：压轴题、综合题。
分析：（1）由题意可知点的坐标为，根据平移可知线段是向左平移个单位得到线段的，由此可知，把三点的坐标代入即可得到抛物线的解析式．
2）由题意可知点应该是线段的垂直平分线与抛物线的交点，为此需要确定的垂直平分线所在的直线的函数解析式，然后通过解方程组确定交点坐标，若能求得，则说明存在，否则说明不存在．
3）由题意可知点与点关于抛物线的对称轴对称，所以，所以，延长交抛物线的对称轴相交，当点在交点上时，，此时的值最大，恰好为线段的长．
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