山东省沂源县徐家庄中学左效平 256116
直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离。特别是判断一条直线是圆的切线，是近几年中考的常见题型。下面我们就一起走进圆的切线，仔细寻找判断的方法。
切线的判定定理：
经过半径的外端，并且和这条半径垂直的直线，是圆的切线。
是判断一条直线是否是圆的切线最常用的依据。所以，在运用判定时，要紧紧抓住两个要素：
被判断直线必须经过圆上的某一个点；
被判断直线必须与直线所过圆上的点所在的圆的半径或直径垂直。
如何深挖题目的条件，综合优选所学知识，证明直线与所在的圆的半径或直径垂直，是问题解决的核心。请同学们在阅读下面的问题时，仔细体会是如何突破关键，证垂直的。
例1、如图1，ab为⊙o的直径，弦cd⊥ab于点m，过点b作be∥cd，交ac的。
延长线于点e，连结bc。求证：be为⊙o的切线。（07山东济宁改编)
分析：被判断的直线是be，由于ab为⊙o的直径，所以，直线be已经具备了第一个条件：经过圆上的某一个点。
这样，问题的关键就是证明第二个条件：ab⊥be。
证明：因为ab为⊙o的直径，所以，点b是圆上的一个点，所以，直线be经过了圆上的点b；
因为，弦cd⊥ab于点m，所以，∠cmb=90°，因为，be∥cd，所以，∠cmb+∠eba =180°，所以，∠eba =90°，因为ab为⊙o的直径，所以，be为⊙o的切线。
例2、如图2，已知：△abc内接于⊙o，点d在oc延长线上，sinb=，d =30°。
求证：ad是⊙o的切线。（07福建福州改编）
分析：被判断的直线是ad，由于△abc内接于⊙o，所以，直线ad已经具备了第一个条件：经过圆上的某一个点。
这样，问题的关键就是证明第二个条件：ad⊥oa。
证明：如图3，连结oa，在△abc中，因为∠b是锐角，且，sinb=，所以，∠b=30°，因为，∠b和∠aoc是弧ac所对的圆周角和圆心角，所以，∠aoc=2∠b，因为，∠b=30°，所以，∠aoc=60°，在△aod中，∠aod+∠d+∠oad=180°，所以，∠oad=180°-（aod+∠d）=180°-60°-30°=90°，所以，ad⊥oa，所以，ad是⊙o的切线。
例3、如图4，a是以bc 为直径的⊙o上一点，ad⊥bc于点d，过点b作⊙o的切线，与ca延长线相交于点e，g为ad的中点，连结cg延长与be交。
于点f，延长af和cb延长线相交于点p。
求证：pa是⊙o的切线。（07四川成都）
分析：被判断的直线是pa，由于a是以bc 为直径的⊙o上一点，所以，直线pa已经具备了第一个条件：经过圆上的某一个点。
这样，问题的关键就是证明第二个条件：pa⊥oa。
证明：因为，bc为⊙o的直径，be是⊙o的切线，所以，eb⊥bc，又因为，ad⊥bc，所以，ad∥be，所以，△bfc∽△dgc，△fec∽△gac，．
因为，g为ad的中点，所以，f是be的中点，如图5，连结ao、ab，因为，bc为⊙o的直径，所以，∠bac=90°，在中，f是斜边的中点，所以，af=fb=ef，所以，∠fba=∠fab，又因为oa=ob，所以，∠oba=∠oab，因为，bc为⊙o的直径，be是⊙o的切线，所以，∠obf=90°，所以，∠fba+∠oba=90°，所以，∠fab +∠oab=90°，即∠oap=90°，因为，oa是⊙o的半径，所以，pa是⊙o的切线。
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