MATLAB课程设计

题目数学物理方程的matlab解法与可视化

系 (部数理系。

专业应用物理学。

班级物理101

学生姓名黄鹏郑宗仁沈洪生。

学号 100112106 100112108 100112109

指导教师(签字) 曲庆国

年月日。目录。

摘要： 3正文： 3

问题。一、矩形区域的拉普拉斯方程 3

1、画求解区域 3

2、设定边界条件 4

3、设定方程类型 5

4、建立网络 5

5、输出图形 6

问题。二、两端固定的弦振动问题（初位移不为零初速为零） 7

1、使用pdetool求得的数值解： 7

2、用差分方程求出的数值解 8

设计体会： 9

参考文献： 10

摘要：本次课程设计主要目的是熟练运用matlab解决数学物理方程与其可视化，此次主要有两个问题：

一是利用matlab偏微分方程工具箱来求矩形区域的拉普拉斯方程求解定解问题，并绘制出解的图形。

二是利用matlab，讨论研究波动方程的可视化，该波动是两端固定的均匀弦的自由振动（初位移不为零初速为零），同样是定解问题。

主要步骤有；打开matlab偏微分方程工具箱的界面，画求解区域，设定边界条件，设定方程类型，建立网格，输出图形。

关键词：偏微分方程边界条件有限差分 matlab工具箱。

正文：问题。

一、矩形区域的拉普拉斯方程。

求解定解问题。

任意选取定解问题中参数的值，例如取=1，a=1，b=1.用偏微分方程工具箱来求解的步骤如下：

1、画求解区域。

在指令窗口中，输入pdetool，打开偏微分方程工具箱的界面，选择菜单options/axes limits，打开对话框如图所示。

在x-axis range和y-axis range栏中都输入[-0.1 1.1]，单击按钮apply确认，再关闭对话框。

单击按钮，画一个边长为1的正方形区域0《x《1，0《y《1，这个正方形被自动命名为r1，并显示在区域上的公示栏中，为了定位光标，可以选择菜单options/grid，在区域内画上网格，如图所示。

如果要精确的确定正方形的位置，可以再正方形内部双击鼠标左键，打开如图所示的对话框。在对话框中输入正方形的左边界，下边界，高度和宽度的数值，也可以在name栏中改变正方形的名称。

如果要重画区域，可选择菜单file/new。

2、设定边界条件。

单击按钮，进入边界模式，这时区域由灰色变为白色，而边界变为红色，选择菜单boundary/show edge labels，给四条边界上编上序号，边界条件的默认设置是在所有边界上=0.根据题意，在边界3和边界4上有=0，所以这两条边界上的设置无需改变。而在边界1上边界条件是=sin（3.

*pi.*x）.*cos（pi.

*x），在边界2 上边界条件是=sin（3.*pi.*y），需要按下面的步骤设置。

双击边界1.打开对话框如图所示。

在边界条件类型中选择dirichlet也即第一类边界条件。这时，描述边界条件的方程是ht=r，这里的t 即待求解的函数。在h一栏中填入1，在r一栏中输入sin（3.

*pi.*x）.*cos（pi.

*x），单击按钮ok，然后关闭对话框，用同样的方法设置边界2的边界条件，但在r一栏中输入的是sin（3.*pi.*y）

3、设定方程类型。

单击按钮，打开对话框如图所示，在方程类型中选择椭圆型这时方程的形式为。

（kt）=q+h（text-t）

其中，k是热扩散系数，h是对流传热系数，text是环境温度。按找题意，取k=1，q=0，h=0，text=0.

4、建立网络。

单击按钮，将区域划分为三角型网络。为了能得到更高的精度，再单击表示进一步细分的按钮，将得到更小的三角形网络，如图所示。

5、输出图形。

单击按钮，得到用颜色表示的解的分布图，为了能得到更好的视觉效果，可单击按钮，打开对话框如图。

在其中选择hight（3-d plot）和plot in x-y grid，在这里plot in x-y grid是用矩形网格画图，速度要快一些，而show mesh则是用三角形网格作图，速度会慢一点，然后单击对话框中的plot按钮即得到结果如图。

问题。二、两端固定的弦振动问题（初位移不为零初速为零）

两端固定的均匀弦的定解问题是。

初位移，初速。

1、使用pdetool求得的数值解：

使用pdetool，可以再用户界面上操作，省去变成的过程，关键是如何利用解二维问题的工具箱来解一维问题。我们是用二维的窄带来表示一维的弦，带的侧面不受力，也就是自由的，对于两端固定的弦而言，带的两端是固定的。

画求解区域。

在菜单options/axes limits下选择x轴范围为0~2，以原点为顶点画一个长为2宽为0.3的矩形。

设定边界条件。

矩形的左右条件是齐次的狄里克利边界条件，可取h=1，r=0，上下边界则取齐次的诺依曼边界条件，即g=0，q=0.

设定方程类型。

方程的设置是hyperbolic型，系数是c=1，a=0，f=0，d=1.

建立网络。为了有足够的精度，将初始化的网格做了两次细分。在解方程的参数设置对话框solve parameters中，将time设为0:

0.05:3.

6，u（t0）设为exp（-（x-1）.^2.*log10(2)/0.

1^2）,而其余不变。

输出图形。作图选项对话框plot parameter中，正在plot type下，选color，hight（3-d plot），animation如图：

2、用差分方程求出的数值解。

利用差分方程同样可以求出问题的解，令，，将微分方程改写成差分方程，即有。

其中。初始条件可以表示成。

所用的程序是：

clearn=4010; dx=0.0024;

dt=0.0005; c=dt*dt/dx/dx;

u(1:420,1)=0; x=linspace(0,1,420)';

u(2:280,1)=0.05/280*(2:280)';

u(281:419,1)=0.05/(419-280)*(419-(281:419)')

u(2:419,2)=u(2:419,1)+c/2*(u(3:420,1)-2*u(2:419,1)+u(1:418,1));

h=plot(x,u(:,1),'linewidth',3)

axis([0,1,-0.05,0.05]);

set(h,'erasemode','xor','markersize',18)

for k=2:n

set(h,'xdata',x,'ydata',u(:,2));

drawnow;

u(2:419,3)=2*u(2:419,2)-u(2:419,1)+c*(u(3:420,2)-2*u(2:419,2)+u(1:418,2));

u(2:419,1)=u(2:419,2);

u(2:419,2)=u(2:419,3);

end运行结果如图。

设计体会：通过本文结果可以知道，对于椭圆型偏微分方程当求解域是圆域、环形域或扇形域时，采用极坐标求解是方便可行的，同时启示我们对于复杂求解域区域转化的方法是值得研究的。有限差分法不仅可以求解规则边界的laplace 方程 ,而且可以求解，不规则二维laplace 方程。

这次课题设计使我们相信：只要努力，我们可以把不可能变为可能，这是一次我们对自己的能力的挑战，努力的过程是艰难的，但是努力的结果是令人欣慰的，想要有回报必须有付出，我们付出了辛劳与汗水，收获到了无价的知识，同时这次课题设计还倡导了我们的团队合作精神，使我们发挥了团队合作意识，从而提高了我们的团队合作能力，团队合作精神在竞争激烈的现如今社会是必不可少的，知识的增长是必然的，但是团队合作精神的培养更是必须的。

既然是数值解法 ,就一定伴随着误差。我们经过这次课题设计发现了自己还有些许不足，还有待于提高。希望在以后的日子里能够与老师多多交流，提高自己。

数学物理方程的matlab的解法与可视化》彭芳麟著。—北京：清华大学出版社，2004.11

matlab7.0从入门到精通》求是科技编邮电出版社。

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