1.一质量块=1kg悬挂在一弹簧的下端，处于平衡状态，如图1所示。 第二个质量块=1kg自高度h=0.1m处落下，然后与一起做自由振动。试写出两质量块的运动方程。
图1 restart:
delta[0]:=m2*g/k初始位移。
eq:=(m1+m2)*diff(x(t),t$2)=(m1+m2)*g-k*(delta[0]+x):
振动微分方程。
eq:=lhs(eq)-rhs(eq)=0合并同类项。
eq:=subs(diff(x(t),t$2)=ddx,eq):#代换。
eq:=simplify(eq化简。
x:=a*sin(omega[0]*t+theta位移结果。
omega[0]:=sqrt(k/(m1+m2求固有角频率。
x[0]:=delta[0初始位移条件。
v1:=sqrt(2*g*h求速度。
v2:=m2*v1/(m1+m2动量定理求速度。
v[0]:=v2初始速度条件。
a:=sqrt(x[0]^2+v[0]^2/omega[0]^2):
theta:=arctan(omega[0]*x[0]/v[0]):
m1:=1:m2:=1
h:=0.1:k:=2*10^3
g:=9.8
omega[0]:=evalf(omega[0],4计算。
a:=evalf(a,4计算。
theta:=evalf(theta,4计算。
x:=evalf(x计算x
答：两质量块的运动方程为x =0 .02267 sin(31.62 t - 0.2178)
2.简谐激振力，偏心质量和支撑运动引起的强迫振动的振幅放大因子与频率比和阻尼比之间的关系曲线。
restart:
for k from 0 to 10 do按阻尼循环开始。
xi[k]:=0.1*k阻尼比。
zeta[k]:=1/sqrt((1-lambda^2)^2+4*xi[k]^2*lambda^2):
振幅比。 od按阻尼循环结束。
plot([seq(zeta[k],k=0..10)],lambda=0..10,view=[0..3,0..6],tickma>>rks=[4,6绘制幅频关系曲线。
restart:
for k from 0 to 10 do按阻尼循环开始。
xi[k]:=0.1*k阻尼比。
zeta[k]:=lambda^2/sqrt((1-lambda^2)^2+4*xi[k]^2*lambda^2):
振幅比。 od按阻尼循环结束。
plot([seq(zeta[k],k=0..10)],lambda=0..10,view=[0..3,0..6],tickma>>rks=[4,6绘制幅频关系曲线。
restart:
for k from 0 to 10 do按阻尼循环开始。
xi[k]:=0.1*k阻尼比。
zeta[k]:=sqrt((1+(2*lambda*xi[k])^2)/
1-lambda^2)^2+4*xi[k]^2*lambda^2)):
振幅比。 od按阻尼循环结束。
plot([seq(zeta[k],k=0..10)],lambda=0..10,view=[0..
3,0..6],tickma>>rks=[4,6绘制幅频关系曲线。a)b)
c)图2
3.一机器系如图3所示。已知机器重=90㎏，减振器重=2.25㎏，若机器上有一偏心块重0.5㎏，偏心距e=1cm，机器转速n=1800rpm。试求：
1）减振器的弹簧刚度多大，才能使机器振幅为零；
2）此时机器的振幅为多大。
图3 restart:
f[0]:=f0*sin(omega*t外激力。
f0:=m*e*omega^2
eq[1]:=w[1]/g*diff(x[1](t),t$2)+k[1]*x[1]+k[2]*x[2]=f[0]
的运动微分方程。
eq[2]:=w[2]/g*diff(x[2](t),t$2)+k[2]*x[2]=0:
的运动微分方程。
eq:=d-omega^2=0满足条件。
eq:=subs(d=k[2]/(w[2]/g),eq代换。
solve(,{k[2求解。
k[2]:=omega^2*w[2]/g
omega:=2*pi*n/60
w[1]:=90:w[2]:=2.25:n:=1800:g:=980
k[2]:=evalf(k[2],3求解。
x[2]:=b[2]*sin(omega*t
b[2]:=f0/k[2
m:=0.5/980:e:=1e=1
b[2]:=evalf(b[2],3计算。
答：减震器的弹簧刚度为81.4㎏/cm，减震器的振幅为0.22cm。
4.试求如图4所示质量为和组成的双摆的动能和势能，并以转角和为广义坐标建立系统的运动微分方程。
图4 restart:
u:=(m[1]+m[2])*g*l[1]*(1-cos(theta[1]))
m[2]*g*l[2]*(1-cos(theta[2]))
#系统势能。
t:=1/2*(m[1]+m[2])*l[1]^2*diff(theta[1](t),t)^2+
m[2]*l[1]*l[2]*cos(theta[2]-theta[1])
diff(theta[1](t),t)*diff(theta[2](t),t)
1/2*m[2]*l[2]^2*diff(theta[2](t),t)^2:
#系统动能。
l:=t-u拉格朗日函数。
l:=subs(diff(theta[1](t),t)=dtheta[1], diff(theta[2](t),t)=dtheta[2],l):
#代换。 ltheta[1]:=diff(l,theta[1
ldtheta[1]:=diff(l,dtheta[1
ldtheta[1]:=subs(dtheta[1]=diff(theta[1](t),t),dtheta[2]=diff(theta[2](t),t),ldtheta[1]):
#代换。 eq[1]:=ltheta[1]-diff(ldtheta[1],t)=0:
拉格朗日方程。
eq[1]:=subs(diff(theta[1](t),t$2)=ddtheta,diff(theta[2](t),t$2)=ddtheta,eq[1]);
#代换。 ltheta[2]:=diff(l,theta[2
ldtheta[2]:=diff(l,dtheta[2
ldtheta[2]:=subs(dtheta[2]=diff(theta[2](t),t),dtheta[1]=diff(theta[1](t),t),ldtheta[2]):
#代换。 eq[2]:=ltheta[2]-diff(ldtheta[2],t)=0:
拉格朗日方程。
eq[2]:=subs(diff(theta[1](t),t$2)=ddtheta,diff(theta[2](t),t$2)=ddtheta,eq[2]);
#代换。答：运动方程为：
5.质量为m的水平台用长为l的绳子悬挂起来，如图5所示，半径为r的小球，质量为m，沿水平台做无滑动的滚动，试以θ和x为广义坐标列出此系统的运动微分方程。
图5 restart:
t[1]:=1/2*m*l^2*diff(theta(t),t)^2平台动能。
t[2]:=1/2*m*((l*diff(theta(t),t))^2+diff(x(t),t)^2+
2*l*diff(x(t),t)*diff(theta(t),t)*cos(theta)):
小球平动动能。
t[3]:=1/2*2/5*m*diff(x(t),t)^2:
小球转动动能。
t:=t[1]+t[2]+t[3系统动能。
u:=(m+m)*g*l*(1-cos(theta系统势能。
l:=t-u拉格朗日函数。
l:=subs(diff(theta(t),t)=dtheta,diff(x(t),t)=dx,l):
代换。 lx:=diff(l,x
ldx:=diff(l,dx
ldx:=subs(dx=diff(x(t),t),dtheta=diff(theta(t),t),ldx):
代换。 eq[1]:=lx-diff(ldx,t)=0拉格朗日方程。
eq[1]:=subs(diff(theta(t),t$2)=ddtheta, diff(x(t),t$2)=ddx,diff(theta(t),t)=dtheta,eq[1]):
代换。 eq[1]:=expand(-eq[1]/7*5化简展开。
l:=subs(theta(t)=theta,l代换。
ltheta:=diff(l,theta
ldtheta:=diff(l,dtheta
ldtheta:=subs(dx=diff(x(t),t),dtheta=diff(theta(t),t),theta=theta(t),ldtheta代换。
eq[2]:=ltheta-diff(ldtheta,t)=0:
拉格朗日方程。
eq[2]:=subs(diff(theta(t),t$2)=ddtheta,diff(x(t),t$2)=
ddx,diff(theta(t),t)=dtheta,-eq[2]):
代换。eq[2]:=subs(diff(x(t),t)=dx,diff(theta(t)(t),t$2)=
ddtheta,theta(t)=theta,eq[2]):#代换。
eq[2]:=expand(eq[2]/l展开。
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