第三次计算方法大作业。
学号： 1111609011
班级： b1116091
姓名： 皮帅帅。
任课教师： 宋宝瑞（四班）
大作业3 对于常微方程数值解问题。
检查各种数值算法的长期行为
观察步长对于收敛效果的影响。
给定方程组。
1． 证明方程组的解是xoy平面上的一个椭圆；
2． 利用改进的欧拉折线法， 4阶标准龙格－库塔法，选几个不同的步长h，计算上述方程组的轨道，看看哪种方法和步长能够保持椭圆轨道不变。（计算的时间步要足够多――至少10000步）
/①，得。x=0时，y=b，有。
1）改进的euler法。
a=3;b=4;
n=70000;
h=6*pi/n;
xn=[0];
yn=[b];
delta=0;
for i=1:n
xp=xn(i)+a*h*yn(i);
yp=yn(i)-b*h*xn(i);
xc=xn(i)+a*h*yp;
yc=yn(i)-b*h*xp;
xn1=(xp+xc)/2;
yn1=(yp+yc)/2;
xn=[xn,xn1];
yn=[yn,yn1];
delta=delta+(xn1^2/(a*b)+(yn1/b)^2-1)^2;
endfangcha=delta/n
plot(xn,yn)
方差为5.8521e-017
2）4阶标准runge-kutta法。
a=3;b=4;
n=70000;
h=6*pi/n;
xn=[0];
yn=[b];
delta=0;
for i=1:n
k1x=a*yn(i);
k1y=-b*xn(i);
k2x=a*(yn(i)+h*k1y/2);
k2y=-b*(xn(i)+h*k1x/2);
k3x=a*(yn(i)+h*k2y/2);
k3y=-b*(xn(i)+h*k2x/2);
k4x=a*(yn(i)+h*k3y);
k4y=-b*(xn(i)+h*k3x);
xn1=xn(i)+h*(k1x+2*k2x+2*k3x+k4x)/6;
yn1=yn(i)+h*(k1y+2*k2y+2*k3y+k4y)/6;
xn=[xn,xn1];
yn=[yn,yn1];
delta= delta+(xn1^2/(a*b)+(yn1/b)^2-1)^2;
endfangcha=delta/n
plot(xn,yn)
方差为3.2057e-029
改变步长n，得到不同的方差。
3）改进的euler法。
a=3;b=4;
n=90000;
h=6*pi/n;
xn=[0];
yn=[b];
delta=0;
for i=1:n
xp=xn(i)+a*h*yn(i);
yp=yn(i)-b*h*xn(i);
xc=xn(i)+a*h*yp;
yc=yn(i)-b*h*xp;
xn1=(xp+xc)/2;
yn1=(yp+yc)/2;
xn=[xn,xn1];
yn=[yn,yn1];
delta=delta+(xn1^2/(a*b)+(yn1/b)^2-1)^2;
endfangcha=delta/n
plot(xn,yn)
方差为3.2057e-029
方差为1.2955e-017
4）4阶标准runge-kutta法。
a=3;b=4;
n=90000;
h=6*pi/n;
xn=[0];
yn=[b];
delta=0;
for i=1:n
k1x=a*yn(i);
k1y=-b*xn(i);
k2x=a*(yn(i)+h*k1y/2);
k2y=-b*(xn(i)+h*k1x/2);
k3x=a*(yn(i)+h*k2y/2);
k3y=-b*(xn(i)+h*k2x/2);
k4x=a*(yn(i)+h*k3y);
k4y=-b*(xn(i)+h*k3x);
xn1=xn(i)+h*(k1x+2*k2x+2*k3x+k4x)/6;
yn1=yn(i)+h*(k1y+2*k2y+2*k3y+k4y)/6;
xn=[xn,xn1];
yn=[yn,yn1];
delta= delta+(xn1^2/(a*b)+(yn1/b)^2-1)^2;
endfangcha=delta/n
plot(xn,yn)
方差为 9.5286e-029
由以上结果可得，4阶标准龙格－库塔法的精度很显著的高于改进的欧拉折线法。计算方差分别为e-029和e-017数量级。并且在不同步长条件下，用同种方法得到的方差没有明显改变。
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