问题分析及建立模型。
1790 到1980 年间美国人口数的统计数据如表所示。
分别用malthus模型和logistic模型方法**2000 年，2010 年，2020 年美国人。
口数量，并对不同方法的**结果进行比较分析。
malthus模型。
假设美国的人口满足函数关系x=f(t), f(t)=ea+bt，a,b为待定常数，根据最小二乘拟合的原理，a,b是函数的最小值点。其中xi是ti时刻美国的人口数。这是第一种模型。
logistic模型。
上述模型可以在短时间内较好地拟合实际人口数量，但也存在问题。即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小。
这是因为自然资源环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和，趋于某一个常数x，假设人口的静增长率为r(1-x(t)/x)，即人口的静增长率随着人口的增长而不断减小，当t时，静增长率趋于零。
按照这个假设，得到。
人口的变化规律为：
具体实验中应使用这种模型进行拟合。
程序。1）x=1790:10:1980;
y=[3.9,5.3,7.
2,9.6,12.9,17.
1,23.2,31.4,28.
6,50.2,62.0,72.
0,92.0,106.5,123.
2,131.7,150.7,179.
3,204.0,226.5];
plot(x,y,'k.',markersize',25);
axis([1790 1990 3 230]);
p2=polyfit(x,y,2)
p3=polyfit(x,y,3)
t=1790:10:1980;
s=polyval(p2,t);
s1=polyval(p3,t);
hold on
plot(t,s,'r-',linewidth',2)
plot(t,s1,'b-',linewidth',2)
grid2）function f=nihehanshu(x,xdata)
f=exp(x(1)+x(2)*xdata);
xdata=1790:10:1980;
ydata=[3.9,5.3,7.
2,9.6,12.9,17.
1,23.2,31.4,28.
6,50.2,62.0,72.
0,92.0,106.5,123.
2,131.7,150.7,179.
3,204.0,226.5];
x0=[0,0];
x,resnorm]=lsqcurvefit(@nihehanshu3,x0,xdata,ydata)
3）function y=nihehanshu(x,xdata)
y=1./(4.5^(-1)+exp(-x(1)-x(2)*xdata))
xdata=1790:10:1980;
ydata=[3.9,5.3,7.
2,9.6,12.9,17.
1,23.2,31.4,28.
6,50.2,62.0,72.
0,92.0,106.5,123.
2,131.7,150.7,179.
3,204.0,226.5];
x0=[0,0];
x,resnorm]=lsqcurvefit(@nihehanshu,x0,xdata,ydata)
4）f=inline('1./(450^(-1)+exp(36.6468-0.0216*x))'
fplot(f,[1790,2020])
hold on
g=inline('exp( -25.5772+0.0157*x)')
fplot(g,[1790,2020])
hold on
f=inline(' 1.0806 *x+0.0006*x^2')
fplot(f,[1790,2020])
hold on
grid结果：
p2 =1.0e+004 *
p3 =1.0e+003 *
2）x =
resnorm =
1.5501e+0033）x =
resnorm =
1.5501e+003
经过三个图线的比较可以得出结论：logistic模型**模拟的人口数量增长比较准确。
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