量子力学第二章算符理论

发布 2022-07-15 15:31:28 阅读 2820

第二章(一维)算符理论。

本章提要:本章从线性变换和微分算子出发,建立算符理论统一它们来处理「观测行为」,引入观测公设。接着,从观测值=本征值为实数的要求出发,找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量,引入算符公设。

之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。最后,作为对上述内容的综合应用,讨论了不确定性原理。

1.算符:每一个可观测量,在态空间中被抽象成算符。在态空间中,观测行为被抽象为,某可测量对应的算符「作用」在态矢量上。

线性变换:线性代数告诉我们,一个线性变换「作用」到n维向量上会获得一个新的n维向量,这等价于一个n阶方阵「作用」在n行1列矩阵上得到新的n行1列矩阵,用数学语言可表示为。总之,方阵与线性变换一一对应。

由于方阵性质比矩阵更丰富,我们将只研究方阵。

微分算子:在微积分中也可简写成。前两种在解欧拉方程和高阶方程式时常用,后两种则经常出现在矢量分析中。

简写法可看作是微分算子「作用」在函数上,我们知道它遵守加法和数乘法则,是一种线性运算。

本征值和本征矢:在矩阵方程中,把称为矩阵本征值,称为矩阵的本征矢。

本征值和本征函数:在微分方程中,把称为问题本征值,称为本征函数。

线性算符:现在把上述概念统一为线性算符理论。

考虑一个可测量,定义它的对应算符为,它的本征方程是或,把称为算符的「本征值」,的取值集合称为算符的「谱」,称为算符的「本征态」(或本征矢),称为算符的「本征函数」

注意:有时也把记作本征值的对应本征态,如后面将遇到的坐标算符本征态、动量算符本征态)

第三公设——观测公设:对于量子系统测量某个量,这过程可以抽象为对应的算符作用于系统粒子的态矢量,测量值只能为算符的本征值。在这次测量后,假设得到测量值,则意味着系统状态此时已坍缩到对应于本征值的的本征态。

观测的影响:测量任何力学量都必须使用仪器。在观测的过程中,探测仪器不可避免地要与被测粒子发生相互作用:例如,要观测粒子的自旋,必须外加磁场)

2.厄米矩阵:根据实际要求观测量应为实数,即算子对应的矩阵的本征值为实数,我们找到这样的矩阵,在数学上称为厄米矩阵(自共轭矩阵)

厄米矩阵定义:方阵任一元素满足,称方阵为厄米矩阵,记作。

由这个定义,今后就把转置共轭称作厄米共轭。

厄米矩阵性质:(1)本征值是实数(2)不同本征值对应的本征矢正交。

3)本征矢量构成一组完备基(经施密特规范正交化就得到标准正交完备基)

第二公设——可观测量公设(算符公设):每个可观测量都有其对应的厄米算符,算符的所有本征矢组成一个完备基。

3.线性厄米算符的运算法则:

基本运算:(1)(2)单位算符。

5)(6)(一般地)

算符作用在态矢(在坐标表象下):

1)回顾投影式:,,

2)算符作用在右矢/左矢的矩阵表示(这要求本征值必须是离散的!):

由此可得。此结论可简单表述为:同一算符作用在右矢与作用在左矢得到的结果构成厄米共轭。

3)算符的矩阵形式:由上可知。

4)厄米算符判别条件:

算符对函数作用时,条件改为:

4.位置算符:是一个极其特殊的厄米算符,它的本征函数系平方不可积但是完备。

本征方程:

本征值:本征值的集合就是实数集,这种本征值取值连续的情况称为连续谱。

相应地,本征值取值离散的情况称为离散谱。

本征函数:除了点之外取值都是0,考虑归一化要求有。

本征函数规格化:虽然无法归一化,但可考虑用函数代替克罗内克符号。

于是有规格化处理,,简写作。

5.动量算符:和相同,它的本征函数系平方不可积但是完备。

从到:推导过程留在本章结尾。

本征方程:

本征值:本征值的集合是实数集,本征值可直接记作。

本征函数:,,

*函数的傅里叶变换公式:)

本征函数规格化:,,简写作。

6.对易子:一般地,不妨定义运算,称为对易子。

对易子的性质:(1)(2)

4)雅可比恒等式:

位置-动量对易关系(最基本):,进一步地。

哈密顿量-力学量算符对易关系:,

特别地,如果不显含时且,那么力学量是守恒量。

7.不确定性原理:,其中(方差定义)

1)解说:当,称两算符可对易,此时存在令。

即在该状态下的观测值可以同时确定。

当,称两算符不可对易,若,则。

即的观测值确定时,无论如何都无法确定的观测值(反之亦然)

2)算符相容性:称两算符相容,此时它们有共同的本征态和本征函数。

3)位置-动量不确定性关系:或写作。

能量-时间不确定性关系:,其中表示变化所用时间。

4)本征值还是平均值?:当,易知即。

显然这是算符的本征方程,是本征态,是平均值又是本征值,这是怎么一回事?粒子状态对测量结果有什么影响?答案见第三章。

8.附录1:不确定性原理的推导。

方差,故,

根据柯西-施瓦茨不等式有,对任意复数有。

不妨设,考察。

同理有,代入得。

此过程**于《量子力学导论》3.4节,格里夫斯著)

附录2:从到的推导过程(波动力学观点)

已知一维薛定谔方程一般形式为。

整理为①,方程两边取共轭得②

考察。则有:

将此式和比较,可定义,即为动量算符。

此过程**于《量子力学导论》1.5节,格里夫斯著)

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