浙江大学远程教育学院。
工程数学》课程作业。
复变函数与积分变换》
第一章 1.1计算下列各式：
2）（a-bi）3
解（a-bi）3=a3-3a2bi+3a(bi)2-(bi)3
a3-3ab2+i(b3-3a2b)
解 ==
1.2证明下列关于共轭复数的运算性质：
证()-i()
证 =即左边=右边，得证。
证 ==
1.4将直线方程ax+by+c=0(a2+b2≠0)写成复数形式。[提示：记x+iy=z.]
z+a+b=0，其中a=a+ib，b=2c(实数) 。
解由x=，y=代入直线方程，得。
c=0, az+-bi()+2c=0,a- ib)z+( a+ib)+2c=0,故z+a+b=0，其中a=a+ib，b=2c
1.5将圆周a(x2+y2)+bx+cy+d=0(a≠0)写成复数形式(即用z与来表示，其中z=x+iy).
解：x=，y=，x2+y2=z代入圆周方程，得。
az+()d=0，2az+(b-ic)z+(b+ic)+2d=0
故az++b+c=0，其中a=2a，c=2d均为实数，b=b+ic
1.6求下列复数的模与辐角主值：
1）i1）、=2，解
arg()=arctan=
1.8将下列各复数写成三角表示式：
2）sin a+i cos a
解 =1,arg()=arctan()=a
故i=+i 。
1.10解方程：z3+1=0.
解方程z3+1=0，即z3=-1，它的解是z=，由开方公式计算得。
z==+i，k=0,1,2
即z0==+i，z1==1，z2=+ i=i 。
1.11指出下列不等式所确定的区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？
1）2<|z|<3
解圆环、有界、多连域。
3）解圆环的一部分、单连域、有界。
5）re z2<1
解 x2-y2＜1无界、单连域。
7）|arg z|<
解从原点出发的两条半射线所成的区域、无界、单连域；
第二章。2.2下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？
1）f(z)= z2
f(z)=z2=·z·z=·z=( x2+y2)(x+iy)=x(x2+y2)+ iy(x2+y2)，这里u(x,y)=x( x2+y2),v(x,y)= y( x2+y2)。
ux= x2+y2+2 x2，vy= x2+y2+2 y2，uy=2xy，vx=2xy 。
要ux= vy，uy =-vx，当且仅当x=y=0，而ux, vy，uy ,vx均连续，故f(z)=·z2仅在z=0可导；z≠0不可导；复平面上处处不解析；
2）f(z)=x2+iy2
解这里u= x2,v= y2, ux=2x, uy=0, vx=0, vy=2y，四个偏导数均连续，但ux= vy，uy= -vx仅在x=y处成立，故f(z)仅在x=y上可导，其余点均不可导，复平面上处处不解析；
2.3确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数：
解 f(z)=是有理函数，除去分母为0的点外处处解析，故全平面除去点z=1及z=-1的区域为f(z)的解析区域，奇点为z=±1，f(z)的导数为：f’(z)=)则可推出==0，即u=c(常数)。故f(z)必为d中常数。
2.9由下列条件求解析函数f(z)=u+iv.
1）u(x-y)(x2+4xy+y2)
解因==3+6xy-3 ，所有v=dy
+3x-+（x），又=6xy+3+’（x）,而=3-3，所以’（x）=-3，则（x）=-c。
故f(z)=u+iv=(x-y)(+4xy+)+i(-+c)
= (1-i)(x+iy)-(1-i) (x+iy)-2(1+i)-2x(1-i)+ci
=z(1-i)()2xyi·iz(1-i)+ci=(1-i)z(-2xyi)+ci
=（1-i）z3+ci
3）u=2(x-1)y, f(0)=-i
解因=2y，=2(x-1)，由f(z)的解析性，有==2(x-1)，v=dx=+（y），又==2y，而=’（y），所以’（y）=2y，（y）=+c，则v=++c，故f(z)=2y+i(++c)，由f(2)=i得f(2)=i(1+c)=,推出c=0。即f(z)=2y+i()=i(+2z) =i(1z)2
4）u=e x(x cos y - y sin y),f(0)=0
解因=(x)+，x)，由f(z)的解析性，有==，x)+。则v(x,y)=dx+dy+c
=+dy+c
xdy-dy+dy)+c
+cx-+c，故f(z)=-i()+ic。由f(0)=0知c=0
即f(z)=（x）+ i()=zez 。
2.13试解方程：
1）ez=1+ i
解 =1+i=2（+i）=2
4）sin z+cos z=0
解由题设知=-1,z=k-，k为整数 。
2.14求下列各式的值：
1）cos i
解 ==3）(1-i)1+i
=27(-i)
第三章。3.1计算积分。积分路径为（1）自原点至1+i的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i；（3）自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至1+i.
解（1）dz=dt=i(1+i)=；
注：直线段的参数方程为z=(1+i)t，0≤t≤1 。
2）c1：y=0,dy=o,dz=dx, c2：x=1,dx=o,dz=idy,dz=+
dx+idy=+i；
3） :x=0,dz=idy; :y=1,dz=dx。
dz=+dy+dx=
3.2计算积分的值，其中c为（1）|z|=2；（2）|z|=4.
解令z=r,则dz==2i 。
当r=2时，为4i；当r=4时，为8i
3.6计算，其中为圆周|z|=2
解 f(z)==在=2内有两个奇点z=0,1,分别作以0,1为中心的圆周c1, c2, c1与 c2不相交，则dz=dz-dz=2i-2i=0
3.8计算下列积分值：
1）zdz解 dz =πi0=1-
解 dz=(3+) 0i =3= 3
3.10计算下列积分：
解 dz =2i=2i
解dz =2（2）=4i
解为0；r＞1时n=1为2i，n≠1为0
3.11计算i=，其中c是（1）|z|=1；（2）|z-2|=1；（3）|z-1|=；4）|z|=3.
解（1）被积函数在≤1内仅有一个奇点z=，故i=dz
2 ()i；
2）被积函数在≤1内仅有一个奇点z=2，故i=dz=2 ()i；
3）被积函数在≤内处处解析，故i=0；
4）、被积函数在≤3内有两个奇点z= ，z=2由复合闭路原理，知i= +dz +dz= =i，其中c1为=1，c2为=1
3.13计算下列积分：
解 dz=2（）’2·=0
3），其中c1：|z|=2，c2：|z|=3.
解 dz=dz+dz
第四章。4.2下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
解（1）因=发散。故发散。
（2）=收敛；故绝对收敛。
4.4试确定下列幂级数的收敛半径：
解 （1）= 1，故r=1。
2）==e，故r=
4.5将下列各函数展开为z的幂级数，并指出其收敛区域：
5）sin 2 z
解 （1）==原点到所有奇点的距离最小值为1，故＜1 。
（5）sin2z==，
4.7求下列函数在指定点z0处的泰勒展式：
1），z0=1
2）sin z，z0=1解（11
4.8将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数：
1），0<|z|<1,1<|z|<+
3），1<|z|<2
4）cos ，0<|z-1|<+
解 （1）0＜＜1时，=(1-)=当1＜＜+时，0＜＜1，=(1+)=1+）
4）0＜＜+时，=
4.9将f(z)= 在z=1处展开为洛朗级数。
解 f(z)==f(z)的奇点为z1=1,z2=2。
f(z) 在0＜＜1与＞1解析。当0＜＜1时。
f(z)==
当＞1时0＜＜1，f(z)==
第五章。5.3下列各函数有哪些奇点？各属何类型（如是极点，指出它的阶数）：
解 （1）令f(z)=，z=0，±2i为f(z)的奇点，因=，所以z=0为简单极点，又==，所以z=2i为二阶极点，同理z=亦为二阶极点。
（2）因==1，所以z=0为二阶极点。
（3）令f(z)==则的零点为z=k-，k=0，±1，±2，…因（）’
==0，所以都为简单极点 。
4）令f(z)=，则的零点为z=, k=0，±1，±2，…。因=（z++…1++…z=0为的三阶零点，故f(z)的三阶极点。又）’=2z()+0，故z=为的一阶零点，即为f(z)的简单极点。
（5）令f(z)=，z=0为其孤立奇点。因==1，所以z=0为可去奇点。
（6）令f(z)=-z=0和（）为其孤立奇点。因===所以z=0为可去奇点，又==(所以z= (k=0，±1，±2，…)为的一阶零点，即为f(z)的简单极点。
5.5如果f(z)与g(z)是以z0为零点的两个不恒为零的解析函数，则。
（或两端均为∞）.
提示：将写成的形式，再讨论。]
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