历年考研数学一真题1987-2019
答案+解析）
经典珍藏版）最近三年+回顾过去。
最近三年篇（2019-2019）
2023年全国硕士研究生入学统一考试。
数学(一)试卷。
一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．
．设函数在上连续，其二阶导数的图形如右图所示，则曲线在的拐点个数为。
a）0（b）1（c）2（d）3
详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（c）
2．设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则。
a）（b）c）（d）
详解】线性微分方程的特征方程为，由特解可知一定是特征方程的一个实根．如果不是特征方程的实根，则对应于的特解的形式应该为，其中应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得，同时是原来方程的一个解，代入可得应该选（a）
．若级数条件收敛，则依次为级数的。
ａ）收敛点，收敛点（ｂ）收敛点，发散点。
ｃ）发散点，收敛点（ｄ）发散点，发散点。
详解】注意条件级数条件收敛等价于幂级数在处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为，即，所以的收敛半径，绝对收敛域为，显然依次为收敛点、发散点，应该选（b）
．设d是第一象限中由曲线与直线所围成的平面区域，函数在d上连续，则（）
详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：
也就是d：所以，所以应该选（b）．
5．设矩阵，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件是。
a）（b）c）（d）
详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：
方程组无穷解的充分必要条件是，也就是同时成立，当然应该选（d）．
6．设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若，则在下的标准形为。
a）（b）c）（d）
详解】，所以。
故选择（a）．
7．若为任意两个随机事件，则（）
a）（b）c）（d）
详解】所以故选择（c）．
8．设随机变量不相关，且，则（）
a）（b）（c）（d）
详解】故应该选择（d）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。把答案填在题中横线上）
详解】．
详解】只要注意为奇函数，在对称区间上积分为零，所以。
11．若函数是由方程确定，则。
详解】设，则。
且当时，，所以。
也就得到。12．设是由平面和三个坐标面围成的空间区域，则。
详解】注意在积分区域内，三个变量具有轮换对称性，也就是。
13．阶行列式。
详解】按照第一行展开，得，有。
由于，得．14．设二维随机变量服从正态分布，则。
详解】由于相关系数等于零，所以x，y都服从正态分布，，且相互独立．
则．三、解答题。
15．（本题满分10分）设函数，在时为等价无穷小，求常数的取值．
详解】当时，把函数展开到三阶的马克劳林公式，得。
由于当时，是等价无穷小，则有，解得，16．（本题满分10分）
设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式．
详解】在点处的切线方程为。
令，得。曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积为。
整理，得，解方程，得，由于，得。
所求曲线方程为。
17．（本题满分10分）
设函数，曲线，求在曲线上的最大方向导数．
详解】显然．
在处的梯度。
在处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模。
所以此题转化为求函数在条件下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：
令。解方程组，得几个可能的极值点，进行比较，可得，在点或处，方向导数取到最大，为。
18．（本题满分10分）
1）设函数都可导，利用导数定义证明；
2）设函数都可导，，写出的求导公式．
详解】（1）证明：设。
由导数的定义和可导与连续的关系。
19．（本题满分10分）
已知曲线l的方程为，起点为，终点为，计算曲线积分．
详解】曲线l的参数方程为。
起点对应，终点为对应．
20．（本题满分11分）
设向量组为向量空间的一组基，．
1）证明：向量组为向量空间的一组基；
2）当为何值时，存在非零向量，使得在基和基下的坐标相同，并求出所有的非零向量。
详解】（1），因为，且显然线性无关，所以是线性无关的，当然是向量空间的一组基．
2）设非零向量在两组基下的坐标都是，则由条件。
可整理得：，所以条件转化为线性方程组。
存在非零解．
从而系数行列式应该等于零，也就是。
由于显然线性无关，所以，也就是．
此时方程组化为，由于线性无关，所以，通解为，其中为任意常数．
所以满足条件的其中为任意不为零的常数．
21．（本题满分11分）
设矩阵相似于矩阵．
1）求的值；
2）求可逆矩阵，使为对角矩阵．
详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有，．
也就是．2）由，得a，b的特征值都为。
解方程组，得矩阵a的属于特征值的线性无关的特征向量为；
解方程组得矩阵a的属于特征值的线性无关的特征向量为。
令，则。22．（本题满分11分）设随机变量x的概率密度为。
对x进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记为次数．
求的分布函数；
1） 求的概率分布；
2） 求数学期望。
详解】（1）x进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为。
显然y的可能取值为。
且。2）设。
23．（本题满分11分）
设总体的概率密度为。
其中为未知参数，是来自总体的简单样本．
1）求参数的矩估计量；
2）求参数的最大似然估计量．
详解】（1）总体的数学期望为。
令，解得参数的矩估计量：．
2）似然函数为。
显然是关于的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使尽可能大就可以，所以。
参数的最大似然估计量为。
2023年全国硕士研究生入学统一考试。
数学(一)试卷。
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。
1）若反常积分收敛，则（ ）
a.且。b.且。
c.且。d.且。
答案】c解析】，而当时收敛，而此时不影响，，而当时收敛，此时不影响，因此选择c.
2）已知函数，则的一个原函数是（ ）a.b.
c.d.
答案】d解析】对函数做不定积分可得原函数，，因此选择d.
3）若是微分方程的两个解，则=（ a.b.
c.d.
答案】a解析】将代入微分方程可得：
而将代入微分方程可得：
将这两个式子相加可得：
两个式子相减可得：
因此可得。故选择a.
4）已知函数，则（ ）
a.是的第一类间断点。
b.是的第二类间断点。
c.在处连续但不可导。
d.在处可导。
答案】d解析】，因此在处连续，而，而，因此。
而左右两边的极限均为1，因此，故在可导，选择d.
5）设是可逆矩阵，且与相似，则下列结论错误的是（ ）
a.与相似。
b.与相似。
c.与相似。
d.与相似。
答案】c解析】因为与相似，因此存在可逆矩阵，使得，于是有：
即，因此，因此，而c选项中，不一定等于，故c不正确，选择c.
6）设二次型，则在空间直角坐标系下表示的二次曲面为（ ）
a.单叶双曲面。
b.双叶双曲面。
c.椭球面。
d.柱面。答案】b
解析】二次型对应的矩阵，根据可以求得特征值为，，因此二次型的规范形为，故可得，即，因此对应的曲面为双叶双曲面，选择b.
7）设随机变量，记，则（ ）
a.随着的增加而增加。
b.随着的增加而增加。
c.随着的增加而减少。
d.随着的增加而减少。
答案】b解析】，因此选择b，随着的增加而增加。
8）随机试验有三种两两不相容的结果，且三种结果发生的概率均为，将试验独立重复做2次，表示2次试验中结果发生的次数，表示2次试验发生的次数，则于的相关系数为（ ）a.b.
c.d.
答案】解析】根据题意可知，因此有。
因此可得，故可得相关系数为：
二、填空题，9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答疑纸指定位置上。
答案】解析】
10）向量场的旋度。
答案】解析】由旋度公式可得。
11）设函数可微，由方程确定，则。
答案】解析】将两边分别关于求导可得：
将代入原式可得，因此将代入关于求导的式子可得：
因此，代入关于求导的式子可得：，因此有，故可得。
12）设函数，且，则。
答案】解析】根据，可得：
然后求二阶导数为：
此时（存疑）
13）行列式。
答案】解析】.
14）设为来自总体的简单随机样本，样本均值，参数的置信度为0.95的双侧知心区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为。
答案】解析】，因为，所以，因此可得，故可得置信区间为。
三、解答题：15~23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15）（本题满分10分）
已知平面区域，计算二重积分。
答案】解析】
16）（本题满分10分）
设函数满足方程，其中。
ⅰ）证明：反常积分收敛；
ⅱ）若，求的值。
答案】（ⅰ解析】
ⅰ）特征方程为，由可知，特征方程有两个不同的实根，即且，因此二阶常系数齐次线性方程的解为：，故可得。
因此收敛。ⅱ）由，可得：
解得。代入可得。
17）（本题满分10分）
设函数满足，且，是从点到点的光滑曲线，计算曲线积分，并求的最小值。
答案】3解析】
根据可得：又故可知，因此。
所以，设，则有。
因此，因此积分与路径无关。
故。因为，所以，令可得。
而，因此，因此当有最小值为。
18）（本题满分10分）
设有界区域由平面与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分。
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