21.如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为l的平行金属极板mn和pq，两极板中心各有一小孔、，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为，周期为。在时刻将一个质量为、电量为（）的粒子由静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在时刻通过垂直于边界进入右侧磁场区。
（不计粒子重力，不考虑极板外的电场）
1）求粒子到达时德速度大小和极板距离。
2）为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件。
3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在时刻再次到达，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感强度的大小。
1）粒子由至的过程中，根据动能定理得。
由式得。设粒子的加速度大小为，由牛顿第二定律得。
由运动学公式得。
联立式得。2)设磁感应强度大小为b，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得。
要使粒子在磁场中运动时不与极板相撞，须满足。
联立式得。3）设粒子在两边界之间无场区向左匀速运动的过程用时为，有。
联立式得。若粒子再次达到时速度恰好为零，粒子回到极板间应做匀减速运动，设匀减速运动的时间为，根据运动学公式得。
联立式得。设粒子在磁场中运动的时间为。
联立式得。设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为t，由式结合运动学公式得。
由题意得。联立式得。
21---1．（2023年山东）如图甲所示，建立oxy坐标系，两平行极板p、q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于oxy平面向里。位于极板左侧的粒子源沿x轴间右连接发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子在0~3t时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）。
已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时，刻经极板边缘射入磁场。上述m、q、l、l0、b为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）
1）求电压u的大小。
2）求时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。
3）何时把两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。
解析：1）时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为，则有①，②
联立以上三式，解得两极板间偏转电压为④。
2）时刻进入两极板的带电粒子，前时间在电场中偏转，后时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动。
带电粒子沿x轴方向的分速度大小为⑤
带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为⑥
带电粒子离开电场时的速度大小为⑦
设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为r，则有⑧
联立③⑤⑥式解得⑨。
3）时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短。带电粒子离开磁场时沿y轴正方向的分速度为⑩，设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为，则，联立③⑤⑩式解得，带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为，所求最短时间为，带电粒子在磁场中运动的周期为，联立以上两式解得。
21—2．某种加速器的理想模型如图1所示：两块相距很近的平行小极板中间各开有一小孔a、b，两极板间电压uab的变化图象如图2所示，电压的最大值为u0、周期为t0，在两极板外有垂直纸面向里的匀强磁场。若将一质量为m0、电荷量为q的带正电的粒子从板内a孔处静止释放，经电场加速后进入磁场，在磁场中运动时间t0后恰能再次从a 孔进入电场加速。
现该粒子的质量增加了。(粒子在两极板间的运动时间不计，两极板外无电场，不考虑粒子所受的重力)
若在t=0时刻将该粒子从板内a孔处静止释放，求其第二次加速后从b孔射出时的动能；
现要利用一根长为l的磁屏蔽管（磁屏蔽管置于磁场中时管内无磁场，忽略其对管外磁场的影响），使图1中实线轨迹（圆心为o）上运动的粒子从a孔正下方相距l处的c孔水平射出，请在答题卡图上的相应位置处画出磁屏蔽管；
若将电压uab的频率提高为原来的2倍，该粒子应何时由板内a孔处静止开始加速，才能经多次加速后获得最大动能？最大动能是多少？
解析】(1) 质量为m0的粒子在磁场中作匀速圆周运动，
则。当粒子的质量增加了，其周期增加。
根据题图可知，粒子第一次的加速电压。
粒子第二次的加速电压。
粒子射出时的动能。
解得。2) 磁屏蔽管的位置如图所示。
(3) 在时，粒子被加速，则最多连续被加速的次数。
得。分析可得，粒子在连续被加速的次数最多，且时也被加速的情况时，最终获得的动能最大。
粒子由静止开始被加速的时刻(n=0,1,2,……
最大动能解得。
21—3.两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图1、图2所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）。在t=0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子（不计重力）。
若电场强度e0、磁感应强度b0、粒子的比荷均已知，且，两板间距。
1）求粒子在0～t0时间内的位移大小与极板间距h的比值。
2）求粒子在板板间做圆周运动的最大半径（用h表示）。
3）若板间电场强度e随时间的变化仍如图1所示，磁场的变化改为如图3所示，试画出粒子在板间运动的轨迹图（不必写计算过程）。
解析：（1）设粒子在0～t0时间内运动的位移大小为s1
又已知。联立①②式解得。
2）粒子在t0～2t0时间内只受洛伦兹力作用，且速度与磁场方向垂直，所以粒子做匀速圆周运动。设运动速度大小为v1，轨道半径为r1，周期为t，则。
联立④⑤式得。
又 ⑦即粒子在t0～2t0时间内恰好完成一个周期的圆周运动。在2t0～3t0时间内，粒子做初速度为v1的匀加速直线运动，设位移大小为s2
解得 ⑨由于s1+s2＜h，所以粒子在3t0～4t0时间内继续做匀速圆周运动，设速度大小为v2，半径为r2
解得 由于s1+s2+r2＜h，粒子恰好又完成一个周期的圆周运动。在4t0～5t0时间内，粒子运动到正极板（如图1所示）。因此粒子运动的最大半径。
3）粒子在板间运动的轨迹如图2所示。
22.如图20所示，以a、b和c、d为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑水平地面上，左端紧靠b点，上表面所在平面与两半圆分别相切于b、c，一物块被轻放在水平匀速运动的传送带上e点，运动到a时刚好与传送带速度相同，然后经a沿半圆轨道滑下，再经b滑上滑板，滑板运动到c时被牢固粘连，物块可视为质点，质量为m，滑板质量m=2m，两半圆半径均为r，板长，板右端到c的距离l在r（1）求物块滑到b点的速度大小；
2）试讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力做的功与l的关系，并判断物块能否滑到cd轨道的中点。
解：（1）设物块到达b点的速度为vb，对物块从e到b由动能定理得。
解得 ②2）假设物块与滑板达到共同速度v时，物块还没有离开滑板，对物块与滑板，由动量守恒，有 ③
设物块在滑板上运动的距离为s1，由能量守恒得 ④
由③④，得 ⑤
即达到共同速度v时，物块不会脱离滑板滑下。
设此过程滑板向右运动的距离为s2，对滑板由动能定理得⑥
由③⑥，得。
讨论：①当时，滑块在滑板上一直减速到右端，设此时的速度为vc，对物块由动能定理得。
解得。所以克服摩擦力所做的功。
设物块离开滑板沿圆轨道上升的高度为h，由机械能守恒得。
解得，故物块不能滑到cd轨道中点。
当时，滑块与滑板最终一起运动至滑板与c相碰，碰后滑块在滑板上继续做减速运动到右端，设此时的速度为vc1 ，对物块由动能定理得。
解得。所以克服摩擦力所做的功。
设物块离开滑板沿圆轨道上升的高度为h，由机械能守恒得。
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