(取材于各地模拟卷和猜题卷)
例1． (本小题满分12分)
已知a为实数，函数f(x)=(x2+)(x+a).
1）若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；
2）若f ′(1)=0.
求函数f(x)的单调区间；
证明对任意的x1,x2∈(-1,0),不等式|f(x1)-f(x2)|《恒成立。
解：（1）∵f(x)=x3+ax2+x+a,∴f ′(x)=3x2+2ax+.
函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，∴f ′(x)=0有实数解。
δ=4a2-4×3×≥0,∴a2≥.
因此，所求实数a的取值范围是。
2)①∵f ′(1)=0,∴3-2a+=0,即a=.
f ′(x)=3x2+2ax+=3(x+)(x+1)
由f ′(x)>0,得x<-1或x>-;由f ′(x)<0,得-1因此，函数f(x)的单调增区间为（-∞1），［单调减区间为［-1，-］
由①的结论可知，f(x)在［-1，-］上的最大值为f(-1)=,最小值为f(-)
f(x)在［-，0］上有最大值为f(0)=,最小值为f(-)
f(x)在［-1，0］上的最大值为f(0)=,最小值为f(-)
因此，任意的x1,x2∈(-1,0),恒有|f(x1)-f(x2)|<
例2． (本小题满分14分)
已知a、b、c是长轴长为4的椭圆上的三点，点a是长轴的一个顶点，bc过椭圆中心o，如图，且。
1）求椭圆的方程；
2）如果椭圆上两点p、q使∠pcq的平分线垂直于ao，则是否存在实数λ,使=λ?请说明理由。
解：（1）以o为原点，oa所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系。
则a（2，0），设所求椭圆的方程为： =1(0由=0得ac⊥bc，∵|bc|=2|ac|,∴oc|=|ac|,∴aoc是等腰直角三角形，∴c的坐标为（1，1），c点在椭圆上，∴=1,∴b2=.
所求的椭圆方程为=1.
2)由于∠pcq的平分线垂直oa（即垂直于x轴），不妨设直线pc的斜率为k，则直线qc的斜率为-k，直线pc的方程为：y=k(x-1)+1,直线qc的方程为y=-k(x-1)+1,由得：（1+3k2）x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0.
(*点c（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为，设p（xp,yp）,q(xq,yq),xp=,同理xq=,而由对称性知b（-1，-1），又a（2，0），∴kab=，∴kpq=kab,共线，且≠0,即存在实数λ,使=λ.
例3．（本小题满分13分）已知函数，其中。
（ⅰ）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（ⅱ）设=-4，且对任意恒成立，求的取值范围。
解析：（i）若即，则，. 即为奇函数2分）
若，则、中至少有一个不为0， 讨论可知既不是奇函数也不是偶函数。
综上知：当时，为奇函数；
当时，既不是奇函数也不是偶函数5分）
ⅱ）若时，恒成立6分）
若时，原不等式可变形为。 即。
只需对，满足8分）
对①式，在（0，1上单调递减，. 10分）
对②式，设，则。（因为0∴在上单调递增，12分）
综上所知：m的范围是（-5，313分）。
例4．（本小题满分14分）已知，. 数列满足。
ⅰ）证明：；
ⅱ）已知≥，证明：；
ⅲ）设是数列的前项和，判断与的大小，并说明理由。
解：（i）∵，
1分）下面用数学归纳法证明：.
时，，故结论成立。
假设时结论成立，即。，即。
也就是说时，结论也成立。
由①②可知，对一切均有4分）
ⅱ）要证，即证，其中。
令。 .由，得6分）
又， 当，.
. 即9分）
ⅲ）由（ⅱ）知：.（11分）
13分）又，即。
14分）例5．（本小题满分12分）
如图，棱柱的所有棱长都等于，，平面⊥平面，．（求异面直线和所成的角；
（ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；
（ⅲ）在直线上是否存在点，使//平面？
若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
说明：理科的立体几何一般是既可以用几何法，也可以用建立空间直角坐标系，利用向量来解决的．
解：连接交于，则，连接，在△中，
由于平面⊥平面，所以⊥底面，以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，则。
………2分。
ⅰ)由于，
则。 即异面直线和所成的角为．……4分。
(ⅱ)由于⊥平面。
平面的法向量。
设⊥平面，则。
得到………6分。
所以二面角的平面角的余弦值是………8分。
ⅲ)假设在直线上存在点，使//平面。设。则。
得………9分。设。则设。
得到…10分。
又因为平面。
则·即点在的延长线上且使……12分。
法二：在作于点，由于平面⊥平面，由面面垂直的性质定理知，⊥平面，又底面为菱形，所以，……4分。
ⅱ）在△中，
所以是的中点，由于底面为菱形，所以也是中点。
由（ⅰ）可知⊥平面，过作1于点，连接，则。
则为二面角的平面角，……6分。
在菱形中，
在rt△中，
二面角的平面角的余弦值是………8分。
ⅲ）存在这样的点，连接，因为。
四边形为平行四边形，//在的延长线上取点，使，连接………10分。
因，∴.四边形为平行四边形，则//.
//,平面12分。
例6、（本题满分14分）
如图，一简单组合体的一个面abc内接于圆o，ab是圆o的直径，四边形dcbe为平行四边形，且dc平面abc．
1）证明：平面acd平面；
2）若，，，试求该简单组合体的体积v．
解：（１证明：∵ dc平面abc ,平面abc2分。
ab是圆o的直径 ∴且
平面adc4分。
四边形dcbe为平行四边形 ∴de//bc
∴平面adc6分。
又∵平面ade ∴平面acd平面7分。
2）解法１：所求简单组合体的体积： -9分，
11分 ---12分。
---13分。
该简单几何体的体积14分。
解法２：将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直的三棱柱---8分。
如图∵，，10分。
12分。14分。
例7、（本题满分14分）
函数 f (x) 对任意x r都有 f (x) +f (1－x) =
1)求 f ()的值．
2)数列 满足：
an= f (0) +数列 是等差数列吗？请给予证明；
3）令试比较tn与sn的大小．
（本题满分14分）
解：（1）因为．
所以4分。2）令，得，即．
又。两式相加 :
所以，又．故数列 是等差数列9分。
12分。所以14
例8．（本小题满分１４分）
已知，其中是自然常数，1）讨论时， 的单调性、极值；
2）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
解：（12分。
当时，，此时单调递减。
当时，，此时单调递增4分。
的极小值为6分。
2）假设存在实数，使（）有最小值3，8分。
当时，，所以 ，所以在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值10分
当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件11分。
当时，，所以，所以在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值13分。
综上，存在实数，使得当时有最小值314分。
例9．(本小题满分14分)．
已知函数，设曲线处的切线与轴的交点为。
解：（1）由题可得1分。
所以曲线在点处的切线方程是：
即2分。令，得．即．
显然4分。2）由，知5分。
同理． 故6分。
从而，即．所以，数列成等比数列．……7分。
故．即8分。
从而所以9分。
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