2023年自主招生数学模拟试题3
班级姓名 一、 选择题（每题5分，共10小题，满分50分）
1.记（ ）
a、一个奇数 b、一个质数c、一个整数的平方 d、一个整数的立方。
2. 若是二次函数的图象上的两点，且，则当时，的值为（ ）
a）0 （bc） （d）
3. 我们将记作，如：；；
若设，则除以2008的余数是（ ）
a． 0 b. 1c. 1004 d. 2007
4.如图，双曲线经过矩形qabc的边bc的中点e，交ab于点d。若梯形odbc的面积为3，则双曲线的解析式为。
ab）cd）
5.如图，和的是等腰直角三角形，，．点b与点d重合，点在同一条直线上，将沿方向平移，至点与点重合时停止．设点之间的距离为x，与重叠部分的面积为，则准确反映与之间对应关系的图象是（ ）
6. 已知整数x满足-5≤x≤5，y1=x+1，y2=-2x+4，对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是。
a.1b.2c.24d.-9
7. 如图，在梯形abcd中，ab//dc，∠d=90o，ad=dc=4，ab=1，f为ad的中点，则点f到bc的距离是（ ）
a.2 b.4 c.8 d.1
8. 若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式。下列三个代数式：①；
．其中是完全对称式的是( )
abcd．①②
9. 如图，等腰△abc中，底边，的平分线交ac于d，的平分线交bd于e，设，则（ ）
a． b． c． d．
10. 某校数学课外小组， 在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点处。其中当k≥2时。
表示负实数a的整数部分，例如。按此方案，第2009棵树种植点的坐标应为 （
a.(5,2009) b.(6,2010) c.(3,401) d.(4,402)
二、 填空题（每题5分，共6小题，满分30分）
11. 若关于x的不等式的解是，则关于的不等式的解是。
12. 9位裁判给一位跳水运动员打分， 每人给的分数都是整数， 去掉一个最高分， 再去掉一个最低分， 其余分数的平均数为该运动员的得分。 若用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数， 该运动员得9.
4分， 那么如果精确到两位小数， 该运动员得分应当是分。
13. 如图， 在正六边形abcdef内放入2008个点， 若这2008个点连同正六边形的六个顶点无三点共线， 则该正六边形被这些点分成互不重合的三角形共个。
14. 有一列数，按顺序分别表示为：，且每一个数减去它前面一个数的差都相等，即，若已知，则= .
15. 已知是的外接圆，若ab=ac=5，bc=6，则的半径为
16.如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是。
三、 解答题（17~18每题7分，19~20每题8分，21题10分，满分40分）
17.计算：
18.某商铺专营a、b两种商品，试销一段时间后总结得到经营利润（万元）与投入资金（万元）的经验公式分别是：。现该商铺投入10万元资金经营上述两种商品。
请求出最佳分配方案，使该商铺能够获得最大利润，并求指出最大利润是多少万元？
19. 已知二次函数（均为实数且）满足条件：对任意实数都有；且当时，总有成立。
1）求的值；
2）求的取值范围。
20.如图，点p和点q是反比例函数图像上第一象限内的两个动点(，)且始终有op=oq。
1）求证：。
（2）是点p关于轴的对称点，是点q关于轴的对称点，连接分别交op、oq于点m、n；
①求证：∥;
求四边形pqnm的面积能否等于？若能，求出点p的坐标；
若不能，请说明理由。
21. 已知抛物线。
1）证明抛物线的顶点一定在直线y=-x+3上；
2）若抛物线与x轴交于m、n两点，当om·on=3，且om≠on时，求抛物线的解析式；
3）若（2）中所求抛物线顶点为c，与y轴交点在原点上方，抛物线的对称轴与x轴交于点b，直线y=-x+3与x轴交于点a。点p为抛物线对称轴上一动点，过点p作pd⊥ac，垂足d**段ac上。试问：
是否存在点p，使？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由。
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