摘要：本问题属于优化问题，要求我们从学校管理人员出发，在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间为目标，制定5个体能测试项目的最优测试安排和班级的最优测试时刻表。
首先，根据模糊数学理论与同一时间内五项测试所能够测试人数比相结合，确定了20人一组的测试方案，具体安排见表1。五项测试中台阶试验测试的平均速度最慢，为保证时间段尽可能的少，应该使台阶试验仪器在每个时间段内连续工作而不间歇，确定了在三天上午的三个时间段内完成所有测试的可行性。最终排出了在同一班级学生同时进测试室，并且学生等待时间尽可能少的条件下的各班级测试时间安排表（见表3）。
此外，建立了学生测试平均等待时间==的数学模型。从而近似得出学生测试平均等待时间为306秒。
随后，从各项测试仪器的数量、同一班级学生人数分组情况以及测试室人员容量三个方面对已建模型进行综合分析，给出了满足学校要求的、更加科学合理的改进方案。
关键词：模糊数学优化综合分析平均等待时间。
一、问题重述。
某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶测试共5个项目，均由电子仪器自动测量、记录并保存信息。该校引进身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。
身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测试5个学生，需要3分30秒。
每个学生测试每个项目前要录入个人信息，即学号，平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，于是如果前后测试的学生学号相连，就可以省去录入时间，而同一班学生的学号是相连的。
学校安排每天的测试时间为8:00-12:10与13：
30-16:45两个时间段。5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。
参加体能测试的各班人数见附表。
学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并且在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。
要求用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法，尽量用清晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划，并且说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。
最后，请对学校以后的体能测试就以下方面提出建议，并说明理由：如引进各项测量仪器的数量；测试场所的人员容量；一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等。
附表参加体能测试的各班人数。
二、模型假设。
1) 规定每个班的所有学生同时进入测试场所，但不要求同时离场，每个学生测完所有项目后就立即离开。
2) 所有的仪器在测试过程中都不会出现故障，能时刻保证正常运行。
3) 每个班的所有学生在测试前不在会场，在测试开始时全部准时到达会场。
4) 所有同学在测试时均无缺席，测试过程正常，不受任何因素干扰。
5) 前后两组同学在测试交接时完美衔接。
三、符号说明。
1) n表示测试学生人数。
2) t表示第i个学生测完五项测试的时刻（i=1,2,…,n）。
3) t表示第i个学生进入测试室的时刻。
四、问题分析。
本题要求在一天两个固定的时间段内安排全校56个班在可容纳150人的场所进行体能测试，同一班所有学生在同一时间段内完成所有测试，并在所需时间段数最少时尽量节约学生的等待时间。测试内容为5个项目，每个学生测试每个项目前需要5秒录入学号，由于学号可自动后移一位，故同一班学生应尽量按相连学号顺序进行测试以减少录入时间。各个项目所需时间不同，若不考虑录入时间，则在420秒内身高与体重、立定跳远、肺活量、握力测试、台阶试验五种测试可分别测试学生126人、21人、21人、56人、20人。
即根据模糊数学的思想可近似认为，相同时间内五种测试仪器可测人数比为6:1:1:
2:1。为了使学生等待时间尽量少，应选择分组测试的方式，且每组人数的多少决定了学生的等待时间。
因为台阶试验用时最长，故在所需时间段最少的前提下应保证台阶试验不间断。因此，任何测试时刻都应保证有10个学生在进行台阶试验。经分析，为了更好的安排，可以在10人进行台阶测试的同时也安排10人进行其他4项的测试，且这10人测试完其他4项的各项用时最多不应超过215秒，这样10人台阶测试完成后可立即与测试另4项的10人交换测试项目，这样学生的等待时间较少。
之所以没有选择30人一组或40人一组，是因为每组人数较少时可以减少学生的等待时间。因此要安排出以20人为一组的测试时间安排表。
要求测试时间段数最少，那么同一时间段内要安排尽可能多的班级进行测试，同时要保证用时最长的台阶试验仪器不间断地工作。经计算，56个班级共2036个学生，每天上午最多可以测试人数m满足，故可以在三个上午使所有学生测完。
五、模型的建立与求解。
根据问题分析，在考虑同一班所有学生在同一时间段内完成所有测试，并在所需时间段数最少时尽量节约学生的等待时间的条件下，选择20人一组的测试方式相对较好。将此20人再分为a、b两个小组，一小组10个人。先让10人进行台阶测试，同时另外10人进行其他四项测试，共用时215秒（具体测试安排见表1）。
之后，a、b两个小组交替测试，20人测完共用430秒。
表1由表1可知，在20人测试完全结束之前，各编号学生可提前离开的时间见表2：
表2将20人一组的测试中所有录入时间平均到每个学生，得。
t==12.5 秒。
每个学生与仪器的接触时间t=10+20+20+15+210+ t=287.5 秒。
每个学生的等待时间t=t-t-t
则学生平均等待时间为==
由此可知，上述20人一组的测试，学生平均等待时间为=107 秒。
如果要使等待时间最省且同一班的学生必须同时进入会场，对于人数是20的整数倍的班级先排在前面，且一次可以进去一个。对于排在后面非20整数倍的班级，在前一个班级剩余人数不足20时开始进入，既不影响前一个班级的测试，也不使自身过早进入测试室造成等待时间增加。为了尽量减少学生的平均等待时间，人数超过20且除以20后的剩余人数尽量少的班级先进。
各个班级的具体进入测试室的时间安排见表3。
对于56个班级所有学生的平均等待时间，根据模糊数学理论与公式==，处理得=306 秒。
表3六、模型评价与改进。
以上模型综合考虑了同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。但这并不是本问题的最优化结果，我们可以从以下几个方面对原有模型进一步优化。
1. 从各项测量仪器的数量分析。
根据相同时间内五种测试仪器可测人数近似比6:1:1:
2:1，以及表1的测试时间安排，知立定跳远、肺活量、台阶测试三种仪器数量较少，身高与体重测试仪器数量偏多。因此，可以减少一台身高与体重测试仪器，增加立定跳远、肺活量、台阶测试三种仪器各一台。
这样可以减少仪器的闲置时间，充分利用仪器，减少测试总时间。
2. 从分组情况分析。
从表3所示的各班级测试时间安排表知，以20人一组测试，使多数班级需要分批次进行测试，而每个班级所有学生同时进入测试室，这就增加了部分人的等待时间。为了减少等待时间，可以将同一班级的同学分成若干组依次进入测试室进行测试，并且仅当开始测试时才进入。
3. 分析测试场所的人员容量。
从表1与表3可知，同一时刻在测试室的总人数并不多，远小于150人，故可以选择容量适当小的房间作为测试室以减少投入，例如容量为80人。
体能测试时间安排
某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。测试包括身高与体重 立定跳远 肺活量 握力和台阶试验共5个项目，均由电子仪器自动测量 记录并保存信息。该校引进身高与体重测量仪器3台，立定跳远 肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。身高与体重 立定跳远 肺活量 握力4个项...
体能测试时间安排
作者 刘英男。现代交际 2015年第10期。摘要 在满足同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试 整个测试所需时间段数最少 尽量节省学生的等待时间的前提下，为了给各班学生体能测试提供较为合理的计划，本文建立了分组测试的模型，就引进各项测量仪器的数量 测试场所的人员容量 一个班的学生是否需要分...
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