摘要。为了了解学生的身体情况，某校按照教学计划安排要对学生进行身高和体重，立定跳远，肺活量以及握力和台阶试验这 5方面的测试。这5个项目所匹配的仪器台数和测试的时间不同。
学校要求每班每个学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并在5个测试所用的时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。
本文先根据学校的实际情况，应用学校现有的仪器设备、场地容纳人员数量、在规定测试的时间，利用队列原理对学生由小到大分成4组，并使他们的总等待时间最短，我们在此基础上建立数学模型：minq=s/t*2。并利用mathematica、word和excel等软件对有关数据进行了分析计算，得出一种比较合理的方法，使得学生等待时间最短。
在上面模型的基础上，我们提出三种方案，回答了题目中的问题二。方案一虽然运行速度比较快，但需要引进各项仪器22台，且场所需要扩容，所以该方案不可行；方案二在一上午可以完成学生测试，需要引进仪器13台，在条件允许的情况下我们认为方案二也可行；方案三在一天的时间可以完成全校学生的测试且引进器材比较少，共4台，通过以上比较我们认为方案三最合理。
关键词。效率分组队列原理等待时间
一、问题的提出。
体能测试主要是测量身体的四大基本素质：力量、耐力、速度、柔韧性。通过这些测试，才可以了解自身的基本体质状况，以便提高身体素质。
现有某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验5个项目，均由电子仪器自动测量、记录并保存信息。该校引进身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。
身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测试5个学生，需要210秒。
每个学生测试每个项目前要登记学号，平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，于是如果前后测试的学生学号相连，就可以省去录入时间，而同一班学生的学号是相连的。
学校安排每天的测试时间为8：00－12：10与13：
30－16：45两时间段。测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行，没有固定的先后顺序。
参加测试的各班人数见附表。
学校要求每班每个学生在同一时间段内完成所有测试项目，并在整个测试所需时间段数最短的条件下，尽量节省学生的等待时间。
最后，请对学校以后的体能测试就以下方面提出建议，并说明理由：如引进各项测量仪器的数量；测试场所的人员容量；一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等。
附表参加体能测试的各班人数。
二、基本假设。
1．假设同班学生按学号相连依次进行测试。
2．假设测试项目没有固定的先后顺序。
3．每天上午8：00-12：10 下午13：30-16：45 各为一个时间段。
4．假设台阶试验满负荷运行且不出现故障。
5．假设一个班的剩余人数和另一个班的剩余人数之和等于5分在一组。
三、问题的分析。
问题一：1．身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测试5个学生，需要210秒。由于该校引进身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台，可知台阶试验测试所需的时间最长，我们把它作为本问题的瓶颈，在进行体能测试时，尽可能的让台阶测试仪器满负荷运转。
全校总人数为s
仪器一天所能测的最多人数t
时间的段数为q
在满足同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试的条件下所需的最小时段总数为。
q=2s/t
2．排序等待原理：假设有xi（i=1，2……n）个班级，如果按照班级人数从小到大排序，则排序等待的时间最少。
为减少学生在测试时下一个班级等待时间，需按排序等待原理将全校各班人数由小到大按均衡分为三组，每一组的人数少于710人（中午不间断至多测714人），得到学生体能测试分组表，按照上面分组可以得到学生等待的时间。
问题二：1．考虑引进测量仪器台数。
台阶实验仪器一次测试所需时间为3分30秒，即210秒，以210秒为单位，一台一次测试时间（10秒）最短的身高和体重仪器，在210秒内所能测试的人数为21人，现有3台仪器在210秒内所能测试的人数为213=63人。
为了使各测量仪器匹配，那么所需立定跳远仪器数可按下式计算：
63（21020）=6.3 约为6台，肺活量、握力、台阶试验仪器大约各需台。
使用两台身高和体重测量仪器，立定跳远仪器、肺活量、握力、台阶试验仪器大约各需台。
使用一台身高和体重测量仪器，所需立定跳远仪器、肺活量、握力、台阶试验仪器大约台。
2． 考虑测试场所的扩容。
如果使用12台台阶仪器，一个上午时段可以测试7146=4284人。
按每小时为一个时段，则每时段可测1021人，由题目所给数据知每个场所最多容纳150人，五个场所共容纳750人，所以需要扩容。
如果使用8台台阶仪器，一个上午时段可以测试7144=2864人。
按每小时为一个时段，则每时段可测680人，由题目所给数据知每个场所最多容纳150人，五个场所共容纳750人，所以不需要扩容。
如果使用台阶试验测量仪4台一上午可测710*2=1420人，下午可测550*2=1100，一天可测1420+1100=2520人，即一天测完。上、下午分别可分两个时间段，不需要扩容。
3.分组方案。
我们使用两台或一台身高和体重测量仪器方案进行分组。
四、 模型的建立。
每个队的总人数ni(i=1,2,3,4,5,6),每个队最后一个班的人数ni,每个队的班数f,则每个时间段的最后一个班的等待时间 ti=(ni-ni)/5×210+(f-1)×5
每个班的人数pi
每个队中每个班的等待时间ti=（pi/5）分三种情况：
当pi为能被5整除的数时，为。
当pi为不能被5整除的数且此时余4的班和余1的班组合时，奇数次遇到不能被5整除为；偶数次遇到不能被5整除时为。
当pi为不能被5整除的数且此时三个这样的班的和可以被5整除时第一个班的用时为，后两个班用时都为。
以t=210s为一个单位时间，身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间为hi，一个单位时间所能测量的最多人数h
x=h/hi
因为每个场所最多容纳150人，根据尽量不扩容的原则，来分配时间段，再由时间段的长短来决定每个时间段的人数。
全校总人数为s
仪器一天所能测的最多人数t
时间的段数为q
目标函数： min q=s/t*2
五、问题的解决。
问题一：1.分时间段。
假设一天能测的最多人数t
假设上午能测的最多人数s1
假设下午能测的最多人数s2
假设全校总人数s
为了解决所需时间段数最少的问题，我们按照所需时间最少（即分析假设五个人用了三分三十秒，不记等待时间）分别将上午和下午台阶试验能测得的最多总人数t算出来。
上午总测试时间l=15000s ，下午总测试时间l1=11700s ;
台阶试验仪测一组用时间 t2=210s,一组人数m=5人；台阶试验台数n=2 ；
s1=lt2mn=710（人）
s2=l1t2mn=550（人）
t= t1+ t2=1260人。
s=2036人
s t=203612602=3.2即至少需要四个时间段。
上午时间段8：00-12：10为15000秒。
最多测验人数=int(15000/210)*5*2=710(人)
最少测验人数=int（1500/215）*5*2=690（人）
下午时间段13：30-16：45为11700秒。
最多测验人数=int(11700/210)*5*2=550(人)
最少测验人数=int（11700/215）*5*2=540（人）
2．班级分组原则。
1）在测试时，为了减少下一个班级等待时间，先对班进行分组，五人一组，根据队列原理把学生由小到大分为四组。
2）为了减少班与班之间的录入时间，我们尽可能合并各班的余数项。把余4的班尽量和余1的班排在一起，余3的班和余2的班排在一起。
3）把一个余2的班夹在两个余四的班之间；剩下的尽量放每组的最后。
班级分组如下表：
3．结果计算。
体能测试时间安排
某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。测试包括身高与体重 立定跳远 肺活量 握力和台阶试验共5个项目，均由电子仪器自动测量 记录并保存信息。该校引进身高与体重测量仪器3台，立定跳远 肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。身高与体重 立定跳远 肺活量 握力4个项...
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作者 刘英男。现代交际 2015年第10期。摘要 在满足同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试 整个测试所需时间段数最少 尽量节省学生的等待时间的前提下，为了给各班学生体能测试提供较为合理的计划，本文建立了分组测试的模型，就引进各项测量仪器的数量 测试场所的人员容量 一个班的学生是否需要分...