（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。
1．两个计数原理。
注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则就分步处理．
2．两个计数原理的区别与联系。
考向一分类加法计数原理。
1）分类加法计数原理的特点：
根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准．
完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．
2）使用分类加法计数原理遵循的原则：
有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．
3）应用分类加法计数原理要注意的问题：
明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．
完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．
确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏．
典例1 将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有。
a．16种b．12种
c．9种d．6种。
答案】b解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：
当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法。
因此，不同的放球方法有2+2+2+2+2+2=12种。故选b.
名师点睛】本题主要考查分类加法计数原理的应用，分六种情况讨论，求解每一种类型的放球方法数，然后利用分类加法计数原理求解即可。解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件。解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类加法计数原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率。
1．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种ic**卡．若他至少买一张，则不同的买法共有。
a．7种b．8种。
c．6种d．9种。
考向二分步乘法计数原理。
应用分步乘法计数原理要注意的问题：
明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．
完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成．
根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．
典例2 某商场共有4个门，购物者若从一个门进，则必须从另一个门出，则不同走法的种数是。
a．8b．7
c．11d．12
答案】d解析】从一个门进有4种选择，从另一个门出有3种选择，共有4×3=12(种)走法．
名师点睛】对于分步乘法计数原理：
要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．
各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．
对完成各步的方法数要准确确定．
典例3 现有小麦、大豆、玉米、高粱4种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有。
a．36种b．48种。
c．24种d．30种。
答案】b解析】由题意可知，本题是一个分步计数的问题。
先给右边的一块地种植，有种结果；
再给中间上面的一块地种植，有种结果；
再给中间下面的一块地种植，有种结果；
最后给左边的一块地种植，有种结果。
根据分步计数原理可知共有种结果。
故选b.名师点睛】本题主要考查的知识点是分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目**现的结果，几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏。需要先给右边的一块地种植，有种结果，再给中间上面的一块地种植，有种结果，再给中间下面的一块地种植，有种结果，最后给左边的一块地种植，有种结果，相乘即可得到结果。
2．已知，，则可表示不同的值的个数为。
a．2b．4
c．8d．15
考向三两个计数原理的综合应用。
1）利用两个原理解决涂色问题。
解决着色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相交线端点的颜色问题；二是按使用颜色的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数．
解决此类应用题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分．要切实做到合理分类，正确分步，才能正确地解决问题．
2）利用两个原理解决集合问题。
解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有的子集有个，真子集有个．
典例4 一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735,414等)，那么，这样的三位数共有。
a．240个 b．249个。
c．285个 d．330个。
答案】c解析】因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字，所以当十位数字是0时有9×9=81种结果，当十位数字是1时有8×8=64种结果，当十位数字是2时有7×7=49种结果，当十位数字是3时有6×6=36种结果，当十位数字是4时有5×5=25种结果，当十位数字是5时有4×4=16种结果，当十位数字是6时有3×3=9种结果，当十位数字是7时有2×2=4种结果，当十位数字是8时有1种结果，所以共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1=285种结果．
名师点睛】与两个计数原理有关问题的常见类型及解题策略：
1)与数字有关的问题．可分类解决，每类中又可分步完成，也可以直接分步解决．
2)与几何有关的问题．可先分类，再分步解决．
3)涂色问题．可按颜色的种数分类完成，也可以按不同的区域分步完成．
3．如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走。则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为。
a．6,8b．6,6
c．5,2d．6,2
1．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为。
a．14b．16
c．18d．20
2．若4位同学报名参加3个不同的课外活动小组，每位同学限报且必须报其中的一个小组，则不同的报名方法共有。
a．34种b．9种。
c．43种d．12种。
3．从这九个数字中，任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同代数式的种数是。
a．6b．9
c．20d．25
4．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有。
a．8种b．12种。
c．16种d．20种。
5．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，则不同的选法有。
a．8种b．12种。
c．16种d．20种。
6．把2支相同的晨光签字笔，3支相同英雄钢笔全部分给4名优秀学生，每名学生至少1支，则不同的分法有。
a．24种b．28种。
c．32种d．36种。
7．用5种不同颜色给图中的a、b、c、d四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，则不同的涂色方案共有。
a．420种b．180种。
c．64种d．25种。
8．某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课。要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是。
a．16b．24
c．8d．12
9．已知集合，从两个集合中各取一个元素作点的坐标，则在直角坐标系中，第。
一、二象限不同点的个数为。
a．18b．16
c．14d．10
10．几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知。
）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，．
李华在下落的过程中撞到了从到的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这根树枝不同的撞击次序有。
a．种b．种。
c．种d．种。
11．已知a∈，b∈，r∈，则方程(x－a)2＋(y－b)2=r2可表示不同圆的个数为___个．
12．我们把个位数比十位数小的两位数称为“和谐两位数”，则1，2，3，4四个数组成的两位数中，“和谐两位数”有___个。
13．如图所示的几何体由一个正三棱锥p－abc与正三棱柱组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有___种．
1 1两个基本计数原理 1
普通高中课程标准实验教科书 数学选修2 3 苏教版 1.1 两个基本计数原理 1 教学目标。1 准确理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，弄清它们的区别 2 会运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的问题 3 培养学生数学 于实践并指导实践的思想意识，通过实例分析培养学生学习数学...
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