第一部分：消费者理论。
一、形式化表述分析消费者偏好的性质。
完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等）
二、效用函数存在性证明请参考教材。
三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。
考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品**为（2，4）时，其需求为（1，2）。当**为（6，3）时，其需求为（2，1），该消费者是否满足显示性偏好弱公理。
如果（1.4，1）时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。
解答： 消费束1偏好于消费束2
消费束2偏好于消费束1
违反了显示性偏好弱公理。
如果（1.4，1）时：
消费束1偏好于消费束2
消费束1在**2的情况下买不起。符合显示性偏好弱公理。
四、效用函数，求瓦尔拉斯需求函数。
解答：从效用函数可知商品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，对商品2的需求为0，，
或者由，可得到。
实际上，这是一个边角解，五、效用函数，对其求。
1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数；
2、希克斯需求函数，支出函数。答案：
形式可能不一样）
六、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化描述，说明其性质，并证明其中的凹凸性性质。 请参考教材。
七、证明对偶原理中的1. 2. 请参考教材。
八、考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个任意消费集。假定。证明：如果是一个凸集，则也是凸集。 请参考教材。
九、效用函数，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应和总效应。 请参考教材。
十、效用函数，求其货币度量的直接和间接效用函数。
答案： 十。
一、效用函数，当，，求其等价变化和补偿变化。
答案：，，十。
二、分析福利分析在税收方面的应用。 请参考教材。
十三、，假定，，，对商品1开征消费税0.25元。求开征消费税的无谓损失（包括两种情况）。
解答：max
1．求瓦尔拉斯需求函数。
1）建立拉格朗日函数。
2）求极值一阶条件。
(a)(b)
(c)由(a)和(b)整理得：
3）瓦尔拉斯需求函数。
分别将，代入预算约束(c)，有。
2．求间接效用函数。
将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数，有。
3．求支出函数。
由间接效用函数，求反函数得：
4．求希克斯需求函数。
法一：将支出函数。
代入瓦尔拉斯需求函数，得到。
法二：根据谢伯特引理，对支出函数对**求导，也可得到希克斯需求函数。
5．求货币度量的效用函数。
1）货币度量的直接效用函数。
由，有。2）货币度量的间接效用函数。
6．下标0表示征税前，下标1表示征收消费税后。，
等价变化分析：
按照征税前的**计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：
商品税与收入税对消费者的福利之差为：
表明商品税对消费者的福利影响更差。
补偿变化分析：
按照征税后的**计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：
商品税与收入税对消费者的福利之差为：
表明商品税对消费者的福利影响更差。
设xb, xb, [0,1].
令x=x+(1-) x,因为x是一个凸集，所以xx.
故px= (px)+ 1-)(px)≤w+ (1-)w=w
因此，xb.
因为x(p,w)对w是一次齐次的，所以对任意》0有x(p, w)= x(p,w).
因此，x (p,w)= x (p,1)w.
因为当k≠l时， (p,1)/ p)/ 0
所以 x (p,1)只是关于p的函数，即可记为x (p,w)= x ( p).
又因为x(p,w)满足零次齐次性，所以x ( p)必定是p的-1次方。
因此，存在〉0时，使x ( p)=/p.
根据瓦尔拉斯定律，∑p（/ p）w=w∑=w.
因此有∑=1 是个常数。
a) 若100120+100y≤100100+100100且100100+80100≤100120+80y
即，y∈[75,80]时，他的行为与弱公理矛盾。
(b) 若100120+100y≤100100+100100且100100+80100>100120+80y
即，y<75时，消费者在第1年的消费束显示出优于第2年的消费束。
(c) 若100120+100y>100100+100100且100100+80100≤100120+80y
即，y>80时，消费者在第2年的消费束显示出优于第1年的消费束。
注：b,c假定弱公理成立)
d) 无论y取何值，都有充分的信息来断定a,b,c 中有一个成立。
e) 当y<75时，商品1是劣等品。
100120+100y≤100100+100100且100100+80100>100120+80y
因此第2年的实际收入水平低于第1年的实际收入水平，同时商品1的相对**上升。但是，因为y<75<100,商品2的需求量下降，这意味着商品1的收入效应是负的。故商品1(在某一**上)是劣等品。
f) 当80100120+100y>100100+100100且100100+80100≤100120+80y
因此第2年的实际收入水平高于第1年的实际收入水平，同时商品2的相对**下降。但是，因为y<100,商品2的需求量下降，这意味着商品2的收入效应是负的。故商品2(在某一**上)是劣等品。
(a) 令(x)=u(x) =x- b) (x- b) (x- b),其中， ,因为函数u→u是单调变换，因此， ,与u()代表相同的效用水平。
因而我们可以不失一般性的假定。
(b) 对已给出的效用函数进行另一种形式的单调变换：
lnu(x)= ln(x- b)+ln(x- b)+ln(x- b).
根据ump的一阶条件得出瓦尔拉斯需求函数：
x(p,w)=(b, b, b)+(w-pb)( p, ,
其中pb=将此需求函数代入u(),得到间接效用函数： v(p,w)= w-pb)
本题（a）中验证和不用作。）
(a) 假设。对于效用函数：
lnu(x)= ln(x- b)+ln(x- b)+ln(x- b).
根据emp一阶条件得：
h(p,u)= b, b, b)+u
将此函数代入ph(p,u),得到支出函数：
e(p,u)=pb+u. 其中， pb=.
b)对(a)中求出的支出函数求导，通过与h(p,u)比较，可得到支出函数的导数即为（a）中所求出的希克斯需求函数。
c)根据(b)可得，dh(p,u)=de(p,u).
将a中的支出函数对p求二阶导数，得到。
在中，我们得到x(p,w)=(b, b, b)+(w-pb)( p, ,
于是，dx(p,w)= p, ,
dx(p,w)= w-pb) (b, b, b)
根据以上结果，我们可验证斯拉茨基方程成立。
(d) 根据dh(p,u)=de(p,u)以及 de(p,u)即得。
e）根据=dh(p,u)=de(p,u),我们可得出de(p,u)是半负定的，并且秩为2。
(a) 根据瓦尔拉斯定律，可得到：x=(w--)
b) 是齐次的。 对于任意，有：
c) 因为斯拉茨基替代矩阵具有对称性，则有：
因此，代入=1，整理得：
因为该方程对于所有和w都成立，则有，， 5，
得， 由于斯拉茨基矩阵的对角线上的所有元素均为非正的，则得到： =0 代入=1，对角线上的第一个元素为：-5+
若≠0，则〉0，就可找到一组值使得上式〉0.
故得： =0 所以， =
d）因为对于任意**， =所以消费者的无差异曲线呈l型，拐点在坐标轴的对角线上，如下图。
e) 根据d的结论，对于固定的，商品1和2的偏好可由表示，商品1和2的需求也无收入效应。因此得到：
+或是该形式的单调变换。
(a) 根据瓦尔拉斯定律和零次齐次性，可得到三种商品的需求函数的定义域都是。于是我们可以从需求函数中得到一个33的斯拉茨基矩阵。将该斯拉茨基矩阵的最后一行与最后一列去掉，可得到一个22的子矩阵，为。
根据瓦尔拉斯定律和齐次性，当且仅当22的子矩阵对称时，33的斯拉茨基矩阵也对称。
同样，可得当且仅当22的子矩阵为半负定矩阵时，33的斯拉茨基矩阵也是半负定矩阵。
因此，效用最大化所蕴含的参数限制为：c=e,b≤0,g≤0,且bg-c≥0.
b) 首先，证明前两种商品相应的希克斯需求函数与效用水平无关，仅是前两种商品**的函数，它等于已给出的瓦尔拉斯需求函数。
l=1,2因为与收入无关， =
因此=。故，与效用水平无关，它等于已给出的瓦尔拉斯需求函数。
若**变化是遵循路径：→→则等价变化为：
若**变化是遵循路径：→→则等价变化为：
当且仅当c=e时，以上两种等价变化相等。
c) 由以上可知： =a+(3/2)b+c
d+e+(3/2)g=d+c+(3/2)g
a+(3/2)b+c)+(d+2e+(3/2)g)=a+(3/2)b+3c+d+(3/2)g
因此， -c
与之和不包括由于第二种商品的**上升到2引起的图中需求函数的移动进而引起的等价变化的效应（同样也可指不包括第一种商品的**上升到2引起的图中需求函数的移动进而引起的等价变化的效应）。从图中看出，当c=e〉0，包括abcd区域，但+不包括。
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微观经济学习题 1
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