考研数学中向量组相关性的8大必须掌握的系统定理及其证明。
[, 一般称为的部分组，如果一个向量组线性无关，则其部分组必无关；如果部分组相关，则向量组必相关。但如果向量组相关，则部分组可能相关也可能无关，同理，部分组无关，则向量组可能无关也可能相关。证明：
记。形象记忆法：大无小无，小关大关。（部分相关全部相关；全部无关部分相关。
）,对此类定理的掌握不能只局限于理论证明，更重要的是需要找到直观解析或几何图案。上述定理从坐标空间的维度很容易直观理解。, 个维向量向量组成的向量组，如果坐标维数小于向量维数时一定线性相关。
特别地：个维向量一定线性相关。
证明：个维向量构成矩阵。
上述定理可以这样形象理解：相当于方程组中有多余一个合理方程。或者可以这样理解：
单个向量的维数相当于坐标空间的维度，向量组的维数（即向量组所含单个向量的个数）相当于任意矢量的分量个数，如果具有三个分量，它又怎能在2维空间中表示呢，除非三个分量不独立，即线性相关。
形象记忆法：坐标数大于维数总相关。（坐标数指单个向量的维数）, 设维向量组，为维坐标；维向量组。
为增加的坐标维数得到的（称为导出组或延伸组），即，则。
1）无关导出组无关；
2）导出组相关相关。
形象记忆法：高维相关低维相关；低维无关高维无关。, 设，则元齐次方程的解空间的秩为。
, 若，当为非零矩阵时不可逆；当为非零矩阵时，则列不满秩，行不满秩。, 向量组能由向量组线性表示， 若不能由线性表示，则。
证明：向量组能由向量组线性表示，则矩阵方程有解。
向量组不能由向量组线性表示，则矩阵方程无解。
若，则方程有解，成立意味，与条件矛盾。
故。, 若，当为列满矩阵时，则。
证明：设，依题意，，知的标准型为，并有：
阶可逆矩阵，使， ,若，则的列向量线性无关。
证明：考虑，则。
为的解。故只有零解，故的列向量线性无关。,
第一，对向量组相关性的理解，首先把向量组转化为对应矩阵，因为秩是它们的公共量，从而等价于讨论矩阵的秩。
第二，要明白秩是用子式（方阵）是否为零来定义的，所以矩阵的秩等于矩阵的行秩也等于列秩，要明白单个向量的维数（坐标空间的维度）和向量组的维数（任意矢量的分量个数）是两个不同的概念。给矩阵增加几行后得矩阵，就相当于增加每一个向量的维数，这时满秩=，就是说无关无关；但反之不成立，因为；如果，就是相关相关，反之也不成立，也是因为。
第19专题讲座---二重积分的系统题型与题法2009
智轩。一、二重积分的六大对称性。
如果积分区域具有轴或点对称（令表示的一半区域，即中对应部分，余类推），被积函数同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学中每年都必出题，务必理解记住下列6类对称性定理。
1 关于轴对称（关于轴对称类推）
关于都对称。
关于原点对称。
当和关于某一直线对称，对同一被积函数，则。
关于轴对称。
万能轮换对称性
轮换对称性描述。
如果将与及交换，即，，后，积分区域方程不变，则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等，这个性质在二重积分，三重积分，曲线积分和曲面积分等六类多元函数积分中都成立。
轮换对称性实例。
二、 二重积分次序选择原则与积分次序的更换方法
后积先定常数限， 先积方向正直穿；
相交必须同一线， 否则域内要分拆；
隐含边界须周全， 6类对称挂耳边；
极坐标逆弧线， 多种边界同园拆。
先看积分区域的边界方程，那个变量幂次高，就后积此变量；,
例1】计算由所围。
解：幂次高，所以先积。
若被积函数只有一个变量，就后积此变量；
例2】，d由所围。
解：被积函数只有一个变量，先积。
积分次序一般以尽可能不拆分区域（即为正规区域）为基准。
例3】 更换积分次序
解： 及 作图形，得：
例4】 交换积分次序
解。画出图形，得：
例5】更换积分次序
解：例6】更换积分次序
解：如改为先后则有下列两点技巧。
的边界曲线全都用极坐标表示。
若以原点为圆心的一系列同心圆与y区域的边界曲线中的不同曲线相交，则应在交点处用逆时针园弧线把的区间分为两个正规区域：
三、换元法技巧。
以尽可能简便为出发点，再参考的特征。如球对称用球坐标，锥体用柱坐标等，微分元换算利用雅可比行列式。
其中雅可比矩阵， ,
例7】:解：为偶函数数，关于都对称，正好是的，故。
例8】计算。
解：（1）关于对称。
关于都是奇数。
2）关于原点对称，为偶函数，故。
例9】 设区域d由所围，试计算。
解：作辅助线，则d分为。显然，关于x轴对称，关于y轴对称。
例10】 计算
解：由于d关于x，y轮换对称性，故。
中被积函数又可以轮换，积分值不变。
又由于d关于x，y轴均对称，故。
例11】设二元函数， 计算二重积分，其中。
解：记， 例12】计算，其中：，求。
解：关于轴对称，关于是偶函数，则， ,能否使用极坐标主要由被积函数的特点决定，而不是由区域特点所决定；使用极坐标方式有两种：原位法：
平移法：，选择的原则是使被积函数容易积出，一般来说，被积函数具有或形式时，使用极坐标会大大简化计算。如果选择不当会使积分求解复杂。
● 常用结论
例13】计算
设在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上为零，试证明：
解：积分区域为：
显然本题适合用原点极坐标，由对称性⑤知：
积分区域为：
使用原点极坐标，，
例14】计算。
解：为偏心圆域，由于被积函数的特点，故可使用极坐标，而这里有两种取法。如使用原位法，即
如使用平移法，即，本质上是把圆心平移到原点，则
显然上述积分十分繁琐，本题不能使用平移法。但在别的场合，必须使用平移法以简便计算，因为平移法有个优点就是能使积分上下限常数化。参见下例。
例15】求积分。
解：方法一：平移法。
方法二：原位法。
读者可以尝试计算上述积分，其中的计算过程要必平移法复杂得多！
例16】 求球面被平面和所夹部分的表面积。
解：上半球。
由于对称性。
例17】 由在第一象限所围成的区域。
解：由解出相当困难，为此采取极坐标，令为广义极坐标，则。
所研究的曲线在第一象限，于是。
解出上下限，
例18】 求椭球体的体积 （广义极坐标）
解：作广义极坐标变换
再采用穿线法，有。
例19】求曲线包围的面积。
解： 例20】求曲线包围的面积。
解： ,例21】计算所围区域。
解：令。例22】求和所围的面积。
解：作变换，令，由此把原有的曲线区域变成矩形区域。
例23】计算由曲线所围成的面积。（）
解：令，雅克比行列式。
故。例24】
解：设； ,
例25】计算。
解： 用隐含边界圆弧将区间分为和两部分，使用原点极坐标，得。
例26】 解：题中为隐含边界。
例27】 解： ,如果本题改为，则。
例28】例29】
解： 利用）
同步练习： 答案：。
例30】计算。
解：隐含边界为，令。
例31】计算。
解：使用和或共3条隐含边界把积分区间从上到下划分为，故。
例32】，由所围。
解：隐含放边界
在图上画出此辅助线。用表示积分区域的下半部分，则：
例33】计算。
解：隐含边界把区域的第一象限部分分为左右两子域。
例34】计算积分。
解：将区间分为5个部分。
例35】计算积分。
解：将区域分为由下到上的4个积分区间。
例36】 求
例37】计算。
解：例38】计算，其中。
解：用双曲线的上支将分成两块：
而为非正规区域，过点作平行于轴的直线，把分为左右两个正规区域和， ,
例39】已知；求。
解：当时，记。
当时，记。根据积分中值定理：
例40】 设函数 ，，求。
解：含参数的积分问题采用平移法决定参数的取值范围是作者的精妙秘诀。
平移法的思想是：先画出的区域图，再令为基准直线，然后把该基准直线分别平移到的全部边界点上，如本题，把基准直线平移到边界点，得分界直线，再把基准直线平移到边界点，得分界直线，于是得出所求积分关于参数的三个分段点，所以有。
把基准直线平移到该区域任意位置，得直线，该直线与轴的交点为，于是。
把基准直线平移到该区域任意位置，得直线，该直线与轴的交点在区域外，不可作为积分限，但该直线与交于，为于是。
例41】，求。
解： 利用区间变换将参量转移到被积函数中，令。
例42】，求。
解： 利用极坐标等将参量转移到积分变限中，令。
例43】, 求。
解：例44】计算， ,
例45】设为恒大于零的连续函数，求证：。
证明：采用二重积分的逆向思想。设，例46】设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且。
对任意，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成的旋转体，若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求。
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