2013杭州高级中学高考数学5月模拟试卷（有答案理科）2013杭州高级中学高考数学5月模拟试卷（有答案理科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若p=，q=，则（）a．b．c．d．
2．如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该几何体的俯视图可以是（）
3．一个算法的程序框图如右，则其输出结果是（）
4．已知命题，命题，则下列说法正确的是()a．p是q的充要条件b．p是q的充分不必要条件c．p是q的必要不充分条件d．p是q的既不充分也不必要条件。
8．函数在轴右侧的零点按横坐标从小到大依次记为，则等于（）a、b、c、d、
9已知点是的重心，点是内一点，若，则的取值范围是（）a．b．c．d．
10．棱长为2的正方体在空间直角坐标系中移动，但保持点a、b分别在x轴、y轴上移动，则点到原点o的最远距离为（）a．b．c．5d．4
二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11.。
12．点p(x，y)在不等式组表示的平面区域内，若点p(x，y)到直线y=kx-1(k>0)的最大距离为2，则k=．
13．某校田径队有名实力相当的短跑选手，来自高。
一、二、三年级的人数分别为现从中选派人参加米接力比赛，且所选派的人中，高。
一、二年级的人数之和不超过高三年级的人数，记此时选派的高三年级的人数为则___
14.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为。15．已知点p是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，i为的内心，若成立，则双曲线的离心率为。
16．若，且是常数，则等于。
17．已知圆心角为120°的扇形aob半径为，c为中点．点d，e分别在半径oa，ob上（不含端点）．若cd2＋ce2＋de2＝2，则od＋oe的。
取值范围是．
三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分）如图，a是单位圆与x轴正半轴的交点，点b,p在单位圆上，且b(,,设四边形oaqp的面积为s,(1)求；
2)求=的单调递增区间。20．(本小题满分14分)
如图，已知四棱锥p-abcd，底面abcd为菱形，pa⊥平面abcd，,e，f分别是bc,pc的中点。（ⅰ证明：ae⊥pd;
ⅱ）若h为pd上的动点，eh与平面pad所成最大角的正切值为，求二面角e—af—c的余弦值。
21．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝23，且椭圆c
上的点到点q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆c的方程；
2)在椭圆c上，是否存在点m(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆o：x2＋y2＝1相交。
于不同的两点a、b，且△oab的面积最大？若存在，求出点m的坐标及对应的△oab
的面积；若不存在，请说明理由．22．（本题满分15分）已知函数，。
ⅰ）对任意，使得是函数在区间上的最大值，试求最大的实数．（ⅱ若，对于区间上的任意两个不相等的实数、，且，都有成立，求的取值范围．一．bccbbdbabd。
二．11．－8。12．1；13．.。14．2．15．2．16．三．18．
19．解：（ⅰ设数列的公差为，分别令得：，即，解得，即等差数列是常数列，所以4分又，则，因，所以，解得．……7分（ⅱ）当时，，所以所以，当时，由得，,即………9分所以，又。
即数列是公比为的等比数列，所以，即，……11分。
………12分当时。
且的值随的增大而减小，即，所以，，即的取值范围是；……14分解法一：因为pa⊥平面abcd，pa平面pac，所以平面pac⊥平面abcd.
过e作eo⊥ac于o，则eo⊥平面pac，过o作os⊥af于s，连接es，则∠eso为二面角e-af-c的平面角，在rt△aoe中，eo=aesin30°=，ao=aecos30°=,又f是pc的中点，在rt△aso中，so=aosin45°=,又。
在rt△eso中，cos∠eso=即所求二面角的余弦值为。
解法二：由（ⅰ）知ae，ad，ap两两垂直，以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又e、f分别为bc、pc的中点，所以e、f分别为bc、pc的中点，所以。
a（0，0，0），b（，-1，0），c（c，1，0），d（0，2，0），p（0，0，2），e（，0，0），f（），所以设平面aef的一法向量为则因此。
取因为bd⊥ac，bd⊥pa，pa∩ac=a，所以bd⊥平面afc，故为平面afc的一法向量。又=（-所以cos＜m,＞=
因为二面角e-af-c为锐角，所以所求二面角的余弦值为。
21．解：(1)∵e＝23＝ca＝a2－b2a，∴a2＝3b2，即椭圆c的方程可写为x23b2＋y2b2＝1.
设p(x，y)为椭圆c上任意给定的一点，pq|2＝x2＋(y－2)2＝－2(y＋1)2＋6＋3b2≤6＋3b2，y∈－b，b]．由题设存在点p1满足|p1q|＝3，则9＝|p1q|2≤6＋3b2，∴b≥1.当b≥1时，由于y＝－1∈－b，b]，此时|pq|2取得最大值6＋3b2.∴6＋3b2＝9b2＝1，a2＝3.
故所求椭圆c的方程为x23＋y2＝1.(2)存在点m满足要求，使△oab的面积最大．
假设直线l：mx＋ny＝1与圆o：x2＋y2＝1相交于不同的两点a、b，则圆心o到l的距离d＝1m2＋n2因为点m(m，n)∈c，所以m23＋n2＝1∵|ab|＝21－d2＝2m2＋n2－1m2＋n2，∴s△oab＝12|ab|d＝m2＋n2－1m2＋n2
23|m|1＋23m2≤23|m|2123m2＝12.上式等号成立当且仅当1＝23m2m2＝32∈(0,3]，因此当m＝±62，n＝±22时等号成立．
所以满足要求的点恰有四个，其坐标分别为62，22，62，－22，－62，22和－62，－22，此时对应的诸三角形的面积均达到最大值12.22．解：（ⅰ由已知，对一切恒成立，只需对一切恒成立，因为，只需对一切恒成立，记，只需，解得，即最大的实数。
（ⅱ当时，因为，所以，即函数在区间上是减函数，因为，所以即，即函数和在区间上同时是减函数，由，可得在区间上恒成立，于是，即；由，可得在区间上恒成立，于是，即；综上，。
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