高考专题：解析几何常规题型及方法。
高考核心考点。
1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）
2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）
3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）
4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算。
5、了解线性规划的意义及简单应用。
6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算。
7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）
8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题。
常规题型及解题的技巧方法。
a:常规题型方面。
1）中点弦问题。
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
典型例题给定双曲线。过a（2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点p的轨迹方程。
分析：设，代入方程得，。
两式相减得。
又设中点p（x,y），将，代入，当时得。
又，代入得。
当弦斜率不存在时，其中点p（2，0）的坐标也满足上述方程。
因此所求轨迹方程是。
说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。
2）焦点三角形问题。
椭圆或双曲线上一点p，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题设p(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。
（1）求证离心率；
（2）求的最值。
分析：（1）设，，由正弦定理得。
得 ，（2）。
当时，最小值是；
当时，最大值是。
3）直线与圆锥曲线位置关系问题。
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。
典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点。
（2）设直线与抛物线的交点为a、b，且oa⊥ob，求p关于t的函数f(t)的表达式。
1）证明：抛物线的准线为。
由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得。
故直线与抛物线总有两个交点。
（2）解：设点a(x1，y1)，点b(x2，y2)
4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题。
圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。
典型例题。已知抛物线y2=2px(p>0)，过m（a,0）且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点a、b，|ab|≤2p
1）求a的取值范围；（2）若线段ab的垂直平分线交x轴于点n，求△nab面积的最大值。
分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。
或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△nab的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值，即：“最值问题，函数思想”。
解：(1)直线l的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：
设直线l与抛物线两交点的坐标分别为a（x1,y1）,b(x2,y2)，则，又y1=x1-a,y2=x2-a,解得：
2)设ab的垂直平分线交ab与点q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：
所以|qm|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△mnq为等腰直角三角形，所以|qm|=|qn|=，所以s△nab=,即△nab面积的最大值为2。
5）求曲线的方程问题。
1．曲线的形状已知---这类问题一般可用待定系数法解决。
典型例题。已知直线l过原点，抛物线c 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点a（-1，0）和点b（0，8）关于l的对称点都在c上，求直线l和抛物线c的方程。
分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。
设出它们的方程，l：y=kx(k≠0),c:y2=2px(p>0)
设a、b关于l的对称点分别为a/、b/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：
a/（）b（）。因为a、b均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.
所以直线l的方程为：y=x,抛物线c的方程为y2=x.
2．曲线的形状未知---求轨迹方程。
典型例题。已知直角坐标平面上点q（2，0）和圆c：x2+y2=1, 动点m到圆c的切线长与|mq|的比等于常数（>0）,求动点m的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
分析：如图，设mn切圆c于点n，则动点m组成的集合是：p=，由平面几何知识可知：
|mn|2=|mo|2-|on|2=|mo|2-1，将m点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.
当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。
6） 存在两点关于直线对称问题。
在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）
典型例题已知椭圆c的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆c上有不同两点关于直线对称。
分析：椭圆上两点，，代入方程，相减得。
又，，，代入得。
又由解得交点。
交点在椭圆内，则有，得。
7）两线段垂直问题。
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。
典型例题已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线c有两个不同的交点（如图）。
（1）求的取值范围；
2）直线的倾斜角为何值时，a、b与抛物线c的焦点连线互相垂直。
分析：（1）直线代入抛物线方程得，由，得。
（2）由上面方程得，，焦点为。
由，得，或。
b:解题的技巧方面。
在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：
1）充分利用几何图形。
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
典型例题设直线与圆相交于p、q两点，o为坐标原点，若，求的值。
解：圆过原点，并且，是圆的直径，圆心的坐标为。
又在直线上，即为所求。
评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且，pq是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。
评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点m是在以op为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。
二。 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略。
我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
典型例题已知中心在原点o，焦点在轴上的椭圆与直线相交于p、q两点，且，，求此椭圆方程。
解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于p、两点。
由方程组消去后得。
由，得1）又p、q在直线上，把（1）代入，得，即。
化简后，得。
由，得。把（2）代入，得，解得或。
代入（4）后，解得或。
由，得。所求椭圆方程为。
评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。
三。 充分利用曲线系方程。
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。
典型例题求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
即，其圆心为c（）
又c在直线上， ，解得，代入所设圆的方程得为所求。
评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。
四、充分利用椭圆的参数方程。
椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。
典型例题 p为椭圆上一动点，a为长轴的右端点，b为短轴的上端点，求四边形oapb面积的最大值及此时点p的坐标。
五、线段长的几种简便计算方法。
充分利用现成结果，减少运算过程。
一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦ab长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。
例求直线被椭圆所截得的线段ab的长。
结合图形的特殊位置关系，减少运算。
在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。
例 、是椭圆的两个焦点，ab是经过的弦，若，求值。
利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离。
例点a（3，2）为定点，点f是抛物线的焦点，点p在抛物线上移动，若取得最小值，求点p的坐标。
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