第一讲分数运算中的技巧。
学习目标：掌握分数运算的技巧，养成速算、巧算的习惯的结构特点，灵活运用运算法则、定定律、性质和某些公式，使算式化难为易。
例1计算：（1）
解析：1）先去掉小括号，使相加凑整，再运用减法运算的性质：a－b－c＝a－(b＋c),使运算过程简便。
2）根据乘法的交换律和结合律，可以写成，可以写成，然后运用乘法分配律使计算简便。
解：（12）
练习1例2计算。
解析：分数与整数相乘，可以按照分子与整数相乘的积做分子，分母不变的法则进行计算，但是观察这两道题的数字特点，第（1）题中的与1只相差，如果把写成的差与37相乘，再运用乘法分配律就能简化运算了。解。
练习2例3计算：
解析：这样加号两边的因数中均含有因数，于是可用乘法分配律简算。解：
练习3例4计算：
解析：把改写成，再用乘法分配律计算比按常规方法计算要简便的多。所以： ＝
练习4：例5计算：
解析：我们把注意力集中在上，因为他们的和为10.但是，只有当分别与它们相乘的另一个因数相同时，我们才能运用乘法分配律简化运算。
因此，我不难想到把37.9分成25.4与12.
5两部分。当出现12.5与6.
4相乘时，我们又可以将6.4看成8×0.8，这样计算就简便多了。
练习5例6计算：
解析：1）题中的就是；即。解：
2)根据运算性质可以把改写成。解：
练习6例7计算。
解析：1）把分成一个41的倍数与另一个较小数相加，再利用除法性质就可以使运算简便。
2）中的化为假分数时，把分子用两个数相乘的形式表示。解。练习7
例8计算：
解析：这样分子分母中就有相同的因式。解：
练习8例9计算：
解析：仔细观察分子、分母中各数的特点，运用变形，达到约分的目的。解：
练习9例10计算： 解析：
解：练习10例11计算：
解析：解：
练习11例12计算：
解析：……，这题如果先“借4”一个，然后再“还”一个，就可以很快算出结果。解：
练习12例13计算：
解析：设a ＝,b ＝，用字母代替算式让计算简便。解：
练习13第二讲分数的分拆整除问题。
尾数余数周期问题。
一、分数的分拆。
学习目标：1.概念：
单位分数：分子为1，分母是自然数（0除外）的分数叫单位分数。
分数分拆：把一个分数分拆成几个分数相加的和，叫做分数的分拆。
2.解题方法与技巧。
1）把单位分数分拆成单位分数相加的和。
方法一：先扩分：同乘以分母的约数和。
再拆分：拆成约数做分子的分数。
后约分：约成最简分数。
方法二：分子、分母同乘以大于分母、小于分母的2倍的自然数。
2）把真分数分拆成单位分数相加的和。
把一个真分数分拆成两个单位分数相加的和，先给要分拆的分数的分子和分母同乘以分母除以分子的整数商加1的和，在给分子加上分母，要使分数大小不变，同时应减去这个数，然后再分拆并约分。
3）把假分数分拆成单位分数相加的和。
方法：先把这个假分数分拆成真分数，再按真分数的分拆方法去分。
例1 在的括号里填入适当的自然数，使等式成立。
解析：分析一：从式子的左边往右边看，是分数的分拆；从右边往左边看，则是分数的加法，可见分数的分拆与分数的加法过程刚好相反。
分数加法主要步骤是通分、合并、约分，因此分数的分拆可按先扩分，再拆分最后约分的步骤来做。
方法一：8的约数有
以上六种分拆方法，其中（1）、（4）、（6）相同，（2）和（5）相同。
如果取两个约数相同时，则可得到，共有四组解。
方法二： 像解法二这样的拆分方法还有。同学们，你们愿意继续研究吗？
练习1例2将分拆成三个单位分数之和（任求一解）。
解法一：10的约数有，任取两个约数之和进行扩分，就能得到一种拆分。又。所以。
解法二：任取10的三个约数.
练习2例3若a、b是自然数，求符合条件的a和b的值（求出两组即可）。
解析：分母10的约数有.
解： 练习3
例4在括号里填上合适的自然数。
解析：分析一：根据真分数分拆成两个单位分数相加的和的方法技巧，先给的分子和分母同时乘以15÷4取整（即3）后加1，再给分子4加上分母，再减去一个分母后拆分并约分。
解法一：分析二：因为，因此，在取分母的两个约数之和进行扩分时，这个和必须是4的倍数时才便于约分。
解法二： 练习4
二、整除问题。
学习目标：如果整数a除以不为零的整数b，所得的商为整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或叫b能整除a。如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做b的倍数。
数的整除性特征：
1.能被2整除的数的特征：个位上的数字是
2.能被5整除的数的特征：个位上的数字是
3.能被4（或25）整除的数的特征：一个整数的末两位能被4（或25）整除。
4.能被8（或125）整除的数的特征：一个整数的末三位数能被8（或125）整除。
5.能被3（或9）整除的数的特征：一个整数的各位上数的和能被3（或9）整除。
6.能被7（11或13）整除的数的特征：①一个整数的末三位数字所表示的数与末三位之前的数字所表示的数之差（大减小）能被7（11或13）整除；②一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被7（11或13）整除。
练习：1.自然数能被11整除，求这个自然数中的x.
2.五位数能被3整除，它的最末两位数字组成的又能被6整除。求这个五位数。
3.证明：任意一个三位数连着写两次得到的六位数，一定能同时被整除。
三、尾数余数。
1.写出除213后余3的全部两位数。
2.求2×4×6×8×14×16×18×22×24×26×28×…×92×94×96×98的尾数是几？
3.，当商是整数时，余数是几？
4.某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？
5.一个不等于1的整数，它除得到相同的余数，那么这个整数是多少？
解析：由于对整数n同余，所以它们两两之差能被这个整数n整除，可先求出它们两两之差，再求出两两之差的约数，就是这个整数。
解：1000－967＝33 2001－1000＝1001 2001－967＝1034
答：这个整数是11.
链接1】：同余定义：如果整数a、b分别除以整数n（n≠0）所得的余数相同，则称整数a、b对于整数n同余，记做a≡b（modn）。例82≡94（mon6）
链接2】：同余性质1：如果a≡b（modn），则（a－b）≡0(modn),即a－b
四、周期问题。
1.运动会场上要插249面彩旗，按5面红旗、9面黄旗、13面绿旗的顺序轮流排列，最后一面是什么颜色的彩旗？这249面彩旗中，红、黄、绿各有多少面？
2.如下图的摆法80个三角形，白色的三角形有多少个？
3.2023年元旦是星期三，那么，同年12月1日是星期几？
4.学校一学期安排86节数学课，单周。
一、三、五每天两节，双周。
二、四每天两节，开学第一周星期一开学典礼没上课，从星期三开始上，则最后一节数学课是星期几上的？
5.有一个11位数，它每三个相邻的数字之和都是24，下图中有“☆”的数是多少？
6.2001－2005的尾数。
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