方法专题：中点的妙用。
联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。
看到中点该想到什么？
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；
2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；
3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；
4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；
5、有中点时常构造垂直平分线；
6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；
7、倍长中线。
8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质。
1、如图1所示，在△abc中，ab=ac=5，bc=6，点m为bc中点，mn⊥ac于点n，则mn等于（ ）
a． b． c． d．
二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”
2、如图，在ｒｔ⊿abc中，∠a=90°,ac=ab,m、n分别在ac、ab上。且an=为斜边bc的中点。试判断△omn的形状，并说明理由。
3、如图，正方形的边长为2, 将长为2的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线围成的图形的面积为（ ）
a. 2b. 4－
cd. 三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”
4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）
如图，已知四边形abcd的对角线ac与bd相交于点o，且ac=bd，m、n分别是ab、cd的中点，mn分别交bd、ac于点e、f.你能说出oe与of的大小关系并加以证明吗？
5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）
如图所示，在三角形abc中，ad是三角形abc∠bac的角平分线，bd⊥ad，点d是垂足，点e是边bc的中点，如果ab=6,ac=14，求de的长。
6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）
如图所示，ab∥cd，bc∥ad ，de⊥be ，df=ef，甲从b出发，沿着ba、ad、df的方向运动，乙b出发，沿着bc、ce、ef的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从b出发，则谁先到达f点？
7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）
如图，等腰梯形abcd中，cd∥ab，对角线ac、bd相交于点o，，点s、p、q分别是do、ao、bc的中点。
求证：△spq是等边三角形。
四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）
8、如图：梯形abcd中，∠a=90°,ad//bc,ad=1,bc=2,cd=3,e为ab中点，求证：de⊥ec
9、如图甲，在正方形abcd和正方形cgef（cg＞bc）中，点b、c、g在同一直线上，m是ae的中点，（1）**线段md、mf的位置及数量关系，并证明；
2）将图甲中的正方形cgef绕点c顺时针旋转，使正方形cgef的对角线ce恰好与正方形abcd的边bc在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。
五、有中点时常构造垂直平分线。
10、如图所示，在△abc中，ad是bc边上中线，∠c=2∠
求证：△adc为等边三角形。
六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）
11、（1）探索：已知的面积为，如图1，延长的边bc到点d，使cd=bc，连接da，若的面积为，则用含的代数式表示）
如图2，延长的边bc到点d，延长边ca到点e，使cd=bc，ae=ca，连接de，若的面积为，则用含的代数式表示）
在图2的基础上延长ab到点f,使bf=ab,连接fd，fe,得到（如图3），若阴影部分的面积为用含的代数式表示）
发现：像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到（如图4），此时，我们称向外扩展了一次。可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的倍。
应用：如图5，若△abc面积为1，第一次操作：分别延长ab，bc，ca至点a1，b1，c1，使得a1b=ab，b1c= bc，c1a=ca，顺次连结a1，b1，c1，得到△a1b1c1.
第二次操作：分别延长a1b1，b1c1，c1a1至点a2，b2，c2，使a2b1= a1b1，b2c1= b1c1，c2a1= c1a1，顺次连结a2，b2，c2，得到△a2b2c2，第三次操作… ，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2010，最少要经过次操作。
12、如图所示，已知梯形abcd，ad∥bc，点e是cd的中点，连接ae 、 be，求证：s△abe=s四边形abcd。
13、如图，m是abcd中ab边的中点。cm交bd于点e,则图中阴影部分面积与abcd面积之比为。
14、如图所示，点e、f分别是矩形abcd的边ab、bc的中点，连af、ce交于点g，则等于：a、 b、 c、 d、
七、倍长中线。
15、如图，△abc中，d为bc中点，ab=5，ad=6，ac=13。求证：ab⊥ad
16、如图，点d、e三等分△abc的bc边，求证：ab+ac>ad+ae
17、如图，d为线段ab的中点，在ab上取异于d的点c，分别以ac、bc为斜边在ab同侧作等腰直角三角形ace与bcf，连结de、df、ef，求证：△def为等腰直角三角形。
八、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
18、半径是 5 cm的圆中，圆心到 8 cm长的弦的距离是___
19、半径为的圆o中有一点p，op=4，则过p的最短弦长。
最长弦是。20、如图，在圆o中，ab、ac为互相垂直且相等的两条弦，od⊥ab，oe⊥ac，垂足分别为d、e，若ac=2cm，则圆o的半径为cm。
21、如图，在⊙o中，直径ab和弦cd的长分别为10 cm和8 cm，则a、b两点到直线cd的距离之和是___
22、如图，⊙o的直径ab和弦cd相交于e，若ae＝2cm，be＝6cm，∠cea＝300，求：cd的长；
23、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取a、b、c三根木柱，使得a、b之间的距离与a、c之间的距离相等，并测得bc长为240米，a到bc的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。
倍长中线：1．（2011平谷二模）24. 已知：如图①，正方形abcd中，e为对角线bd上一点，过e点作ef⊥bd交bc于f，连接df，g为df中点，连接eg，cg．
1）求证：eg=cg；
2）将图①中△bef绕b点逆时针旋转45，如图②所示，取df中点g，连接eg，cg．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
3）将图①中△bef绕b点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
中点的妙用
一 倍长中线法。例1ad是 abc中bc边上的中线，若ab2，ac4，则ad的取值范围是。例2已知在 abc中，ad是bc边上的中线，e是ad上一点，延长be交ac于f，afef，求证 acbe。例3如图1，abc与 bde均为等腰直角三角形，ba ac，ed bd，点d在ab边上。连接ec，取ec...