高二年级第一学期解析几何章节月考试题（部分）解析。
一、填空题。
8.与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程是。
解：在双曲线中，于是双曲线的左、右焦点分别为、
据此可设所求双曲线的方程为。
则由其过点，有。
又。联立、，得，故所求双曲线的方程为。
10.椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的方程为。
解：不妨设所求椭圆的方程为（）
设是该椭圆上任意一点，是其一个焦点。
令，则。又，于是当，即点为椭圆的右顶点时，取得最小值，且；
当，即点为椭圆的左顶点时，取得最大值，且。
因而由题意，有。
故所求椭圆的方程为。
注：由本题可见，椭圆的右（左）顶点到右（左）焦点的距离最小，到左（右）焦点的距离最大。以后在遇到相关问题时，这个结论可以直接用。
补充练习】若抛物线（）上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则抛物线的方程为。
解： 抛物线的焦点为，准线方程为。设。则。
又点在抛物线上。
于是。又，当且仅当时，取得最小值，且。
于是有。故。
注：由本题可见，抛物线的顶点到其焦点的距离最小。以后在遇到相关问题时，这个结论可以直接用。
12.过点且与双曲线有一个公共点的直线方程为。
解：显然，点在双曲线外。
1）当所求直线的斜率不存在时，显然，过点且与双曲线有一个公共点的直线方程为。
2）当所求直线的斜率存在时，不妨设其斜率为。
则由其过点可知，所求直线的方程为，即。
联立，得（）
ⅰ）若，则。
当时，由（）式，有无解，不满足题意，舍去。
当时，由（）式，有。
而此时所求直线的方程为。
将代入中，得。
即此时所求直线与双曲线的唯一公共点为，满足题意。
于是当时，所求直线的方程为。
ⅱ）若，即，则对（）式，由所求直线与双曲线仅有一个公共点，有。
而这显然与矛盾，舍去。
于是当时，所求直线不存在。
故所求直线的方程为或。
补充练习1】过点且与双曲线有一个公共点的直线方程为。
解：显然，点在双曲线外。
由题意知，所求直线的斜率是存在的，不妨设为。
则由其过点可知，所求直线的方程为，即。
联立，得（）
ⅰ）若，则。
当时，由（）式，有。
而此时所求直线的方程为。
将代入中，得。
即此时所求直线与双曲线的唯一公共点为，满足题意。
当时，由（）式，有。
而此时所求直线的方程为。
将代入中，得。
即此时所求直线与双曲线的唯一公共点为，满足题意。
于是当时，所求直线的方程为。
ⅱ）若，即，则对（）式，由所求直线与双曲线仅有一个公共点，有。
即，满足题意
于是当时，所求直线的方程为。
故所求直线的方程为或。
补充练习2】过点且与抛物线有一个公共点的直线方程为。
解：显然，点在抛物线外。
1）当所求直线的斜率不存在时，显然，过点且与抛物线有一个公共点的直线方程为。
2）当所求直线的斜率存在时，不妨设其斜率为。
则由其过点可知，所求直线的方程为，即。
联立，得（）
ⅰ）若，则由（）式，有。
而此时所求直线的方程为。
即此时所求直线与抛物线的唯一公共点为，满足题意。
于是当时，所求直线的方程为。
ⅱ）若，则对（）式，由所求直线与抛物线仅有一个公共点，有。
满足题意 于是当时，所求直线的方程为。
故所求直线的方程为或或。
13.设，，若，则的取值范围为。
解：（法一）曲线，，即，表示圆心为，半径的下半圆周（不包含两个端点，）
直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）
当直线：过点时，有。
当直线：与曲线：，，即下半圆周，相切时，圆心到直线：的距离。
又曲线：，与直线：有公共点。
故，即的取值范围为。
法二）对于曲线：，即下半圆周，令，则点，是曲线上的点。
曲线：，与直线：有公共点。
方程在上有解。
于是有。又。
于是。故，即的取值范围为。
注：（1）当曲线：与直线：有且仅有一个公共点时，可求得的取值范围为。解法如下：
曲线，，即，表示圆心为，半径的下半圆周（不包含两个端点，）
直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）
当直线：过点时，有。
当直线：过点时，有。
当直线：与曲线：，即下半圆周，相切时，圆心到直线：的距离。
又曲线：与直线：有且仅有一个公共点。
故或，即的取值范围为。
2）当曲线：与直线：有两个公共点时，可求得的取值范围为。解法如下：
曲线，，即，表示圆心为，半径的下半圆周（不包含两个端点，）
直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）
当直线：过点时，有。
当直线：与曲线：，即下半圆周，相切时，圆心到直线：的距离。
又曲线：与直线：有两个公共点。
故，即的取值范围为。
补充练习1】若直线：与曲线：有公共点，则的取值范围为。
解：（法一）曲线：，即，表示圆心为，半径的上半圆周（包含两个端点，）
直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）
当直线：过点时，有。
当直线：与曲线：，即上半圆周，相切时，圆心到直线：的距离。
又直线：与曲线：有公共点。
故，即的取值范围为。
法二）对于曲线：，即上半圆周，令，则点，是曲线上的点。
直线：与曲线：，即上半圆周，有公共点。
方程在上有解。
于是有。又。
于是。故，即的取值范围为。
注：（1）当直线：与曲线：有且仅有一个公共点时，可求得的取值范围为。解法如下：
曲线：，即，表示圆心为，半径的上半圆周（包含两个端点，）
直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）
当直线：过点时，有。
当直线：过点时，有。
当直线：与曲线：，即上半圆周，相切时，圆心到直线：的距离。
又直线：与曲线：有且仅有一个公共点。
故或，即的取值范围为。
2）当直线：与曲线：有两个公共点时，可求得的取值范围为。解法如下：
曲线：，即，表示圆心为，半径的上半圆周（包含两个端点，）
直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）
当直线：过点时，有。
当直线：与曲线：，即上半圆周，相切时，圆心到直线：的距离。
又直线：与曲线：有两个公共点。
故，即的取值范围为。
补充练习2】已知曲线：与直线：有两个交点，则的取值范围为。
解：曲线：，即，表示圆心为，半径的上半圆周（包含两个端点，）
直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）
当直线：过点时，有。
当直线：与曲线：，即上半圆周，相切时，圆心到直线：的距离。
又曲线：与直线：有两个交点。
故，即的取值范围为。
注：（1）当曲线：与直线：有交点时，可求得的取值范围为。解法如下：
法一）曲线：，即，表示圆心为，半径的上半圆周（包含两个端点，）
直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）
当直线：过点时，有。
当直线：与曲线：，即上半圆周，相切时，圆心到直线：的距离。
又曲线：与直线：有交点。
故，即的取值范围为。
法二）对于曲线：，即上半圆周，令，即，则点，是曲线上的点。
直线：与曲线：，即上半圆周，有公共点。
方程在上有解。
于是有。又。
于是。故，即的取值范围为。
2）当曲线：与直线：有且仅有一个交点时，可求得的取值范围为。解法如下：
曲线：，即，表示圆心为，半径的上半圆周（包含两个端点，）
直线：，即，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（具体而言，当时，由直线向上平移个单位得到；当时，由直线向下平移个单位得到）
当直线：过点时，有。
当直线：过点时，有。
当直线：与曲线：，即上半圆周，相切时，圆心到直线：的距离。
又曲线：与直线：有且仅有一个交点。
故并且，即的取值范围为。
14.设点在对应法则下变换为，当点在直线上移动时，点的轨迹方程为。
解：设。则由题意知，于是有。
又点在直线上。
于是有，即。
故点的轨迹方程为。
补充练习】已知点在的边所在的直线上，且满足：（）则在平面直角坐标系中，动点的轨迹方程为。
解：设。则由题意知，于是有。
又、、三点共线，且有。
于是有，即。
故点的轨迹方程为。
二、选择题。
15.命题：“曲线上任一点的坐标都是方程的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）
a. 曲线是方程的曲线。
b. 方程的每一组解对应的点都在曲线上。
c. 不满足方程的点不在曲线上。
d. 方程是曲线的方程。
解：本题考察曲线与方程的关系。无论方程是曲线的方程，还是曲线是方程的曲线，都必须同时满足两个条件：
①曲线上任一点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都在曲线上。由此可见，a、d错误。对于b，由于不能得出曲线是方程的曲线，因此“方程的每一组解对应的点都在曲线上”这种说法不正确。
故b错误。对于c，曲线上任一点的坐标都是方程的解表明，曲线上任一点都满足方程，因此不满足方程的点都不在曲线上。故c正确。
事实上，原命题与c互为逆否命题。根据互为逆否命题的等价性，若原命题成立，则逆否命题也成立；若原命题不成立，则逆否命题也不成立。
17.关于曲线：，下列说法中不正确的是（）
a. 曲线关于原点对称。
b. 曲线关于直线对称。
c. 曲线是封闭的，且封闭图形的面积大于。
d. 曲线与曲线：有四个交点，这四个交点构成的图形是正方形。
解：对于a：设是曲线：上任意一点。
则。设点为点关于坐标原点的对称点。
则。点也在曲线：上。
故曲线关于原点对称。
对于b：设是曲线：上任意一点。
则。设点为点关于直线，即的对称点。
则。点也在曲线：上。
故曲线关于直线对称。
对于c：设是曲线：上任意一点。
则。于是有，故曲线：不是封闭图形（是封闭图形的话，、的取值范围是有限区间）
对于d：显然，曲线：与曲线：都关于坐标原点、轴、轴对称，并且它们有四个交点，分别为，而这四个交点恰好是一个正方形的四个顶点。
故这四个顶点构成的图形是正方形。
注：证明：点关于直线的对称点为。
证：设，为点关于直线的对称点。
于是，故，即点关于直线的对称点为。
18.点在直线：上，若存在过点的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“好点”，那么下列结论中正确的是。
a. 直线上不存在好点。
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