第ⅰ卷。一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()
a．充分不必要条件b．必要不充分条件c．充分必要条件d．既不充分也不必要条件。
2．已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，则()
a．n⊥βb．n∥β，或nβc．n⊥αd．n∥α，或nα
3..若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点b∈β，则在平面β内且过b点的所有直线中()
a．不一定存有与a平行的直线b．只有两条与a平行的直线c．存有无数条与a平行的直线d．存有与a平行的直线。
4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()
5.如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1,则该几何体的体积为（）a．b．c．d．1
6．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（）
a．必定都不是直角三角形b．至多有一个直角三角形c．至多有两个直角三角形d．可能都是直角三角形。
7．如右图所示，正方体abcd¬a1b1c1d1的棱长为1，线段b1d1上有两个动点e，f，且ef＝，则下列结论中错误的是()a．ac⊥be
b．ef∥平面abcd
c．三棱锥a¬bef的体积为定值d．△aef的面积与△bef的面积相等。
8．已知矩形abcd的面积为8，当矩形abcd周长最小时，沿对角线ac把△acd折起，则三棱锥d－abc的外接球表面积等于()a．8πb．16π
c．48πd．不确定的实数。
9．已知a、b、c、d为同一球面上的四点，且连接每点间的线段长都等于2，则球心o到平面bcd的距离等于（）a．b．c．d．
10.三棱锥p－abc的高po＝8，ac＝bc＝3，∠acb＝30°，m、n分别在bc和po上，且cm＝x，pn＝2cm，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥n－amc的体积v与x变化关系(x∈(0,3))是( )第ⅱ卷。
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为。
12.在中， ,ab=8, ,pc平面abc,pc=4,m是ab上一个动点，则pm的最小值为。
13．长方体中，，则一只小虫从a点沿长方体的表面爬到点的最短距离是。
14．在棱长为1的正方体ac1中，e为ab的中点，点p为侧面bb1c1c内一动点(含边界)，若动点p始终满足pe⊥bd1，则动点p的轨迹的长度为___
15.四面体abcd中，有以下命题：①若ac⊥bd，ab⊥cd，则ad⊥bc；
若e、f、g分别是bc，ab，cd的中点，则∠efg的大小等于异面直线ac与bd所成角的大小；
若点o是四面体abcd外接球的球心，则o在面abd上的射影是△abd的外心；
若四个面是全等的三角形，则abcd为正四面体．其中准确命题序号是．
三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，ac=bc，点d是ab的中点。（1）求证：bc1//平面ca1d；
2）求证：平面ca1d⊥平面aa1b1b。
17.如图，在四棱锥p-abcd中，平面pad⊥平面abcd，ab//dc，δpad是等边三角形，已知bd=2ad=8，ab=2dc=4。
1）设m是pc上的一点，证明：平面mbd⊥平面pad；（2）求四棱锥p-abcd的体积。
18.在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设．（ⅰ求的值；
ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的大小．
19.如图所示，已知pa⊥⊙o所在平面，ab是⊙o的直径，点c是⊙o上任意一点，过a作ae⊥pc于点e，af⊥pb于点f，求证：(1)ae⊥平面pbc；(2)平面pac⊥平面pbc；(3)pb⊥ef.
20.如图所示，四棱锥p－abcd中，底面abcd是∠dab＝60°的菱形，侧面pad为正三角形，其所在平面垂直于底面abcd.(1)求证：ad⊥pb.
2)若e为bc边的中点，能否在棱pc上找到一点f，使平面def⊥平面abcd？并证明你的结论．
21.三棱锥p-abc中，pc、ac、bc两两垂直，bc=pc=1，ac=2，e、f、g分别是ab、ac、ap的中点。（1）证明：
平面gfe//平面pcb；（2）求二面角b-ap-c的正切值；
3）求直线pf与平面pab所成角的正弦值。1~10 adaba ddbba
11~15 6πa2 2 ①③
16.解答：（1）连接ac1交a1c于e，连接de，∵aa1c1c为矩形，则e为ac1的中点。
又cd平面ca1d，∴平面ca1d⊥平面平面aa1b1b。又δpad是边长为4的等边三角形，∴po=。
18.解：（1），就是异面直线与所成的角，即，……2分）连接，又，则。
为等边三角形4分由，，；5分。
2）取的中点，连接，过作于，连接，,平面。
又，所以平面，即，所以就是平面与平面所成的锐二面角的平面角。……7分在中，11分。
所以平面与平面所成的锐二面角的大小为。……12分。
说明：取的中点，连接，……同样给分（也给12分）19证明：(1)因为ab是⊙o的直径，所以∠acb＝90°，即ac⊥bc.
又因为pa⊥⊙o所在平面，即pa⊥平面abc.又bc平面abc，所以bc⊥pa.
又因为ac∩pa＝a，所以bc⊥平面pac.因为ae平面pac，所以bc⊥ae.又已知ae⊥pc，pc∩bc＝c，所以ae⊥平面pbc.
2)因为ae⊥平面pbc，且ae平面pac，所以平面pac⊥平面pbc.
3)因为ae⊥平面pbc，且pb平面pbc，所以ae⊥pb.
又af⊥pb于点f，且af∩ae＝a，所以pb⊥平面aef.
又因为ef平面aef，所以pb⊥ef.
解析：(1)方法一，如图，取ad中点g，连接pg，bg，bd.
△pad为等边三角形，∴pg⊥ad，又∵平面pad⊥平面abcd，∴pg⊥平面abcd.
在△abd中，∠a＝60°，ad＝ab，∴△abd为等边三角形，∴bg⊥ad，ad⊥平面pbg，∴ad⊥pb.方法二，如图，取ad中点g∵△pad为正三角形，∴pg⊥ad又易知△abd为正三角形∴ad⊥bg.
又bg，pg为平面pbg内的两条相交直线，∴ad⊥平面pbg.∴ad⊥pb.
2)连接cg与de相交于h点，在△pgc中作hf∥pg，交pc于f点，∴fh⊥平面abcd，∴平面dhf⊥平面abcd，h是cg的中点，∴f是pc的中点，在pc上存有一点f，即为pc的中点，使得平面def⊥平面abcd.
21.解答：（1）因为e、f、g分别是ab、ac、ap的中点，所以ef//bc，gf//cp。
因为ef，gf平面pcb，所以ef//平面pcb，gf//平面pcb。又ef∩gf=f，所以平面gfe//平面pcb。
2）过点c在平面pac内作ch⊥pa，垂足为h，连接hb。因为bc⊥pc，bc⊥ac，且pc∩ac=c，所以bc⊥平面pac，所以hb⊥pa，所。
以∠bhc是二面角b-ap-c的平面角。依条件容易求出ch=，所以tan∠bhc=，所以二面角b-ap-c的正切值是。
3）如图，设pb的中点为k，连接kc，ak，因为δpcb为等腰直角三角形，所以kc⊥pb；又ac⊥pc，ac⊥bc，且pc∩bc=c，所以ac⊥平面pcb，所以ak⊥pb，又因为ak∩kc=k，所以pb⊥平面akc；又pb平面pab，所以平面akc⊥平面pab。在平面akc内，过点f作fm⊥ak，垂足为m。因为平面akc⊥平面pab，所以fm⊥平面pab，连接pm，则∠mpf是直线pf与平面pab所成的角。
容易求出pf=，fm=，所以sin∠mpf==.即直线pf与平面pab所成的角的正弦值是。
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