小学数学总复习阶段。
必须重视的数学思想及解题原理。
江苏省射阳外国语学校周丕 224300
新课标提出要让学生“在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法”，在总体目标中，又把让学生“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”列入其中。在平时的教学中，虽然我们已重视了数学思想的渗透，但在总复习阶段学生数学思想的获得仍必须作为一个重要的教学目标，因为学生数学思想的形成同样不是一蹴而就的，需要一个长时间的学习过程。
一、总复习阶段学生解题的几点思想。
1、符号思想数学中的符号，有其特定的含义，它与自然语言相比，具有简洁性、直观性、准确性的特点。因此，它能抓住表达意义的内在结构和逻辑关系，成为表达特定思想载体和诱发思维的刺激物。数学复习中，让学生用符号思想看待问题，可以发展学生的思维，提高运用数学知识的能力。
案例]根据上面提供的信息，先填写下表，再回答问题。
哪个季度销售的最多？哪个季度销售的最少？从上面的信息中你有什么猜想或想对啤酒厂提什么建议？
在小组中交流。教学时，我先让学生观察题中的的信息，然后独立填表，填表后引导学生在小组交流并讨论上题中的问题，最后组织全班交流，让学生说说“从上面的信息中所得到的猜想或想对啤酒厂提的建议”。
解读] 新课程要求教师不仅成为课程的执行者，还要成为课程的设计者、开发者和创造者。这一案例中，教师将纯数据的信息，拓展成用符号表示的信息，创造性地设计教学内容，让学生根据符号信息，通过填表、合作**，完成上述问题。显然，这一组含有符号的统计题，对学生符号思想的获得有着重要作用。
首先，通过填表，学生从中可以体验到一个正方形符号可以代表5万瓶啤酒，相反，5万瓶啤酒也可以用其它符号来替代，数学中的符号有其特定的含义。其次，通过小组合作讨论，交流“猜想”、“建议”并用符号表示想对市民说的一句话，让学生在分享的过程中，丰富经验，体会用数、形将实际问题“符号化”的优越性。第三，通过练习，学生可以从中感悟到数学丰富多彩，我们的生活中有数学，同时，数学又为我们的生活和生产提供方便。
2、函数思想函数思想的可贵之处正在于它是用运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律。学生对函数概念的理解有一个过程，在数学总复习中，教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，并注意渗透函数思想。
案例] 正反比例的复习，我先让学生完成如下两表。表1表2
接着组织学生在小组中交流，说说表1中什么一定，哪两种量在发生变化？变化的规律是什么？表2中什么一定，哪两种量在发生变化？
变化的规律是什么？随后引导学生自己列表归纳出正反比例的异同。
[解读]这个案例中，教师设计**让学生自己填充，再通过问题的回答，让学生进一步体会表1中，工作总量随着工作时间的变化而变化，但是不管怎样变化，其工作总量与工作时间的比的比值总是一定的。表2中，速度随着时间的变化而变化，但是不管怎样变化，其速度和时间的乘积总是一定的，由此来渗透函数思想，这是可行的。但是，在我们的教材中，从低年级起随处可见渗透函数思想的素材，比如，加法教后，让学生进行几个不同的数加同一个数的练习，让学生观察和的变化情况；除法教后，让学生进行几个不同的数同除以一个数的练习，让学生观察商的变化情况等等。
平时的教学中，只要我们用心去研究、去挖掘，学生的函数思想一定会发展。
3、对应思想对应，在我们的数学中无处不在，小学低年级教材中运用数形结合的方法帮助学生认数、理解数，并是数形对应的例证。在小学阶段经常碰到的对应，一般有数形对应、量率对应、量量对应等。
案例] 射阳磷肥厂去年上半年生产磷肥380吨，下半年完成了全年计划的60%，结果超产50吨。去年计划生产磷肥多少吨？
教学时，我先组织学生小组合作研究“找对应”，然后引导学生画出线段图。
从上面的线段图中，学生很快发现与（380－50）吨相对应的分率是（1－60%），因此列出下面一式：（380－50）÷（1－60%）。
解读] 分数（百分数）应用题中的量率对应是学生在解题时必须找准的，否则，直接影响着学生找到正确的解题思路。但是，在平时的教学中发现，学生在找“对应”时，往往出现一些困难，因此，总复习时仍必须重视对应思想的渗透。本案例中的题，是一个非常典型的运用对应思想寻求解题思路的问题，教师先让学生合作**找对应，在学生犯难时，再引导学生作直观图，让学生从图中找出量与率的对应，从而顺利找到解题思路。
这样组织教学，一方面可以让学生学会在寻求解题思路遇到困难时，可以借助某种手段（如线段图）来实现，另一方面，让学生进一步明确，解数学题时，有时要通过找对应关系来寻求思路，对应是我们数学中非常重要的一种数学思想。
4、化归思想所谓化归，就是把原问题尽可能转化为能解决或较易解决的问题。它的特点就是化繁为简，化难为易，化一般为特殊，化特殊为一般，化复合为单一，化隐蔽为外显。数学总复习阶段，学生遇到的问题有时比较综合，从而有一定的难度。
因此，在复习时，有机渗透化归思想，可以帮助学生形成正确而灵活的思路，提高学生的分析解题能力。
案例]一个圆柱的侧面积为439.6平方厘米，底面半径为5厘米。求这个圆柱体的体积。
教学时，我首先让学生理解题意，然后让他们自己寻找解决问题的方案。从交流中发现学生均列出如下一式：（1）3.
14×52×（439.6/2×3.14×5）=1099（立方厘米）
虽然这是正确的，但是其思路仍停留在套用公式上，为使学生的思路更开阔，我作了如下提示：能否从推导圆柱体积公式中得到启迪，找到另外的思路？接着组织学生小组合作**，在大家的努力下又列出了如下一式：
（2）439.6÷2×5=1099(立方厘米)
接着组织学生讨论说理：先将这个圆柱等分若干份，拼成一个近似的长方体（如图1），然后再将这个近似的长方体横放（如图2），那么这个横放的长方体的底面积就是这个圆柱侧面积的一半，即439.6÷2厘米，高就是这个圆柱的半径5厘米，所以，这个近似的长方体的体积，也就是圆柱体的体积可以用439.
6÷2×5求得。
图1图2 ）
解读] 求圆柱的体积，其常规思路是套用公式v=sh，这是学生都认同的一种方法，但是如何打破常规，让学生找到更简洁的思路？这个案例中，在学生思维受阻时，教师紧紧抓住化归进行提示，再运用小组合作学习的方式，让学生暴露思维过程，从而在大家的思维碰撞中产生灵感：用439.
6÷2×5求出体积，最后，再让学生自己弄清其中的道理。可见，教师有意识的引导学生将圆柱转化成长方体，从直立放置转化成横放，这样的几次化归后，学生终于从一般的思路中找到了简易的特殊思路，其解题能力随着化归的展开得到了提高。
数学思想方法在小学数学教学中的渗透，往往要经历一个循环往复、循序渐进的过程，所以我们在数学复习过程中要依据具体学习素材、学生实际，灵活进行，以促进学生的和谐发展。
二、总复习阶段小学数学解题的几种原理。
1. 分配原理。
分配原理是根据题中的数量关系，从已知条件入手，先求出单位“1”，再由单位“1”的量进行分配。
例1、同学们参加野营活动。一个同学到负责后勤工作的老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领55个。又问：
“多少人吃饭？”他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗。
”算一算这个同学给多少人领碗。
分析与解〕 ①可以直接求最小公倍数来解。根据“一人一个饭碗，二人一个菜碗，三人一个汤碗”的条件可得的最小公倍数是6。即每6人为一桌，饭碗需6÷l＝6（个）；菜碗需6÷2＝3（个）；汤碗需6÷3＝2（个）。
每桌共计需6＋3＋2＝11（个）碗数。这样野营的同学正好可以安排：55÷11＝5（桌），而每桌都是6人，即共有6×5＝30人参加野营。
算术法。55÷（l＋＋）55÷1＝30（人）。
③方程法。解：设共有x人 x＋x＋x＝55 解得x＝30。
例2、射阳外国语学校六（1）班同学去郊外植树，休息时每人发2瓶汽水，每3人发2瓶果汁，每6人发2瓶雪碧，结果共发饮料180瓶，在这些人中，每人植一棵松树，每2人植5棵杨树，每3人植4棵柳树，每5人植3棵杏树，求该车间共植树多少棵？
分析与解〕此题实际上是把前两题合在一起。每人所发饮料情况如下，汽水2（瓶）； 果汁2÷3＝（瓶）；雪碧 2÷6＝（瓶）；列式：180÷（2＋＋）60（人）。
植树情况：松树1×60＝60（棵）； 杨树60×2＝150（棵）； 柳树160×1＝80（棵）； 杏树60×＝36（棵） ；该车间共植树的总数棵：60＋150＋80＋36＝326（棵）。
综合算式：180÷（2＋＋）1＋2+1+）＝326（棵）。
2、假设原理。
假设原理是先假定某种现象存在，然后将先前的假定与已知条件进行比较，产生矛盾与差异，再通过分析与思考，找出形成差异的原因，从而达到解题的目的。
例1．一项工程，甲独做要6o小时完成，乙独做要15小时时完成，如果此项工程由甲先做若干小时再由乙单独接着做，这样共用了45小时完成，求完成任务时每人各做了几小时？
分析与解] 这是一道较复杂的工程问题，假设甲做了45小时，那么乙做的时间为：（1－×45）÷（5（小时），甲做的时间为：45－5＝40（小时）。
例2、射阳外国语学校本学期男生人数比原来增加了，而女生人数比原来减少了，结果全校总人数比原来增加了，求原来女生占总人数的几分之几？
分析与解〕此题没有一个具体的数字，在女生人数减少的情况下，而总人数却增加了，由此说明男生增加的人数比女生减少的人数多。假设男女生人数都增加了，那么总人数就增加，而实际上总人数只增加了，这样假设的与实际的产生了误差。于是得出：
女生人数占总人数的男生人数占总人数的：1－＝。
3、守恒原理。
守恒原理就是抓住不变的量解题，在这一类问题中其中至少有一个条件是守恒的。守恒的类型有以下几种，1．明守恒：明守恒就是通过已知条件，可以直接求出守恒不变的量，再根据这个量解决所要求的问题。
以下举例说明。2．暗守恒：暗守恒其守恒量不易直接求出，只有通过已知条件的分率转化，才能算出守恒的分率与数量，从而达到解题目的。
3. 总量守恒：不管题中有几个条件，也不管它们之间发生什么样的变化，但总数是永远不变的，这就是总量守恒。
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